Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
присоединенным. Однако-для других важных групп произведение ЯУСЯ
оказывается больше пространства присоединенного представления и
необходимо попытаться наложить какие-то дополнительные ограничения.
Реально известно только одно подходящее ограничение. В том случае, когда
представления R и R эквивалентны и соответственно нет реальных различий
между концами струны, можно потребовать, чтобы квантовая волновая функция
струны была инвариантна относительно обращения а-*- я--а. Формально это
означает, что
|л"); ь, а)=в| л((-i)X); а> ь), (6.1.э>
где фаза е может быть равна ±1. Здесь мы использовали полученную выше
информацию о том, что при замене а-"-я - а осцилляторы преобразуются как
ajl->(-1)"а*п- Заметим, что в формуле (6.1.3) мы написали ab вместо аБ.
Сделано это не случайно, а чтобы подчеркнуть, что сама симметрия,
устанавливаемая этой формулой, имеет смысл только в том случае, когда
представления для зарядов на обоих концах струны действительно
эквивалентны. Струны, удовлетворяющие условию
(6.1.3), называются неориентируемыми. Если вспомнить выражение оператора
числа частиц N через осцилляторы, то (6.1.3) можно переписать в виде
I Л; ab) = ± (-1)"-* I Л; Ьа), (6.1.4)
6.1. Открытые струны
329
где N0 есть собственное значение N для безмассовых состояний. Здесь мы
воспользовались тем, что N = n для осциллятора а1п.
Рассмотрим в качестве примера группу 50 (п) и будем считать, что оба
представления R и R совпадают с фундаментальным я-мерным представлением.
Присоединенному представлению в этом случае соответствуют
антисимметричные матрицы, и, следовательно, безмассовые векторные
состояния будут удовлетворять (6.1.3) со знаком минус. В случае бозонных
струн (-1)^ равно -1 для безмассовых векторов, поэтому мы должны положить
е = 1; для суперструн (-1)^ равно соответственно + 1. поэтому там е = -1.
В любом случае, если мы будем называть уровни четными или нечетными в
зависимости от того, четно или нечетно значение а'М2 для состояний этих
уровней, то струнные состояния четных уровней будут преобразовываться
относительно SO(N) как антисимметричные (пХ л)-матрицы, а нечетных
уровней - как симметричные. Еще один заслуживающий внимания случай - это
группа USp{ti) и R, R, совпадающие с фундаментальным представлением
Sp(n). Здесь присоединенное представление - это симметричная часть RXR, и
соответственно мы должны положить е = -1 для бозонных -струн и е = -(- 1
для суперсимметричных. Квантовые числа четных и нечетных массовых уровней
будут теперь равны соответственно симметричной и антисимметричной частям
RyiR.
Представляется, что двумя только что приведенными примерами исчерпываются
фактически все разумные варианты, и вот почему. Как мы уже говорили,
чтобы получить самосогласованную калибровочную теорию, необходимо
потребовать, чтобы безмассовые векторные частицы принадлежали именно
присоединенному представлению некоторой группы G. Обозначим Х1аЪ, t=l, 2,
..., dimG, антиэрмитовы (п X п) -матрицы, представляющие алгебру Ли
группы G. В общем случае они образуют собственное подмножество множества
всех антиэрмитовых матриц. Исключительными случаями, когда в алгебре
участвуют все матрицы, будут лишь группы U (п) и SO(n) для комплексных и
вещественных матричных элементов соответственно. Если же мы хотим, чтобы
калибровочная группа была, скажем, собственной подгруппой в U{n), тогда
А/ не могут составлять всех антиэрмитовых (я X п)-матриц и возникает
естественный вопрос, можно ли ввести самосогласованным образом
соответствующие дополнительные ограничения. Однако здесь мы можем легко
войти в конфликт с требованиями унитарности. А именно, в произвольной
древесной амплитуде имеются без-]массовые полюса, и необходимо убедиться,
что эти полюса отвечают лишь тем состояниям, которые принадлежат
присоеди-
330
6. Неабелева калибровочная симметрия
ненному представлению группы G. В обычной теории Янга - Миллса это
требование всегда выполнено только потому, что коммутатор [Х', V] есть
линейная комбинация Причем это всегда верно для любых G и R просто
потому, что совокупность всех К образует соответствующую алгебру. Для
суперструны же типа I имеется дополнительное условие, которое и
ограничивает возможный выбор как G, так и R.
Чтобы объяснить, каким образом возникает это условие, напомним некоторые
общие свойства Af-частичной древесной амплитуды для открытой струны,
упомянутые в гл. 1. Пусть Л(1, 2, ..., М) отвечает некоторой М-частичной
диаграмме рассеяния открытых струн, которые не несут никаких групповых
квантовых чисел. Эти амплитуды А циклически симметричны относительно
перестановок М линий, в некоторых случаях - с точностью до знака. Если
групповые квантовые числа частиц описываются матрицами А,ь Яг, Хм, то
полная древесная амплитуда задается формулой
Т( 1, 2, ..., M) = Z tr(M2 ••• ЯМ)Л(1, 2. ..., М), (6.1.5)
где сумма идет по всем (М-1)! циклически неэквивалентным перестановкам
внешних линий. Отметим, что мы вовсе не утверждаем, что формулу (6.1.5)
