Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
суперсимметрию не более чем с N = 1. По другим, но связанным с этой
причинам невозможны открытые струны и в гетеротиче-ской теории, которая
будет описана в настоящей главе. Если калибровочные квантовые числа
введены с помощью зарядов на концах струн, то даже в теории типа I
замкнутые струны-, оказываются нейтральными.
6.1.1. Метод Чана - Патона
В 1969 г. Чаном и Патоном был сформулирован способ введения калибровочной
симметрии U (2) или U (3) в сектор открытых струн в бозонной теории
струн. Собственно говоря, сами авторы ставили задачу включения в теорию
только глобальных симметрий, однако на самом деле появление в спектре
открытой струны безмассовых калибровочных мезонов (что до конца осознано
в то время не было) указывает на то, что в последовательно
сформулированной теории струн введенные ими квантовые числа отвечают
калибровочной симметрии. Обобщение метода Чана - Патона на произвольные
группы U (п) совершенно очевидно, что же касается других классических
групп, SO (я) и USp(n), то их можно включить, если рассмотреть не-
ориентируемые струны вместо ориентированных, которым по
феноменологическим соображениям отдавалось предпочтение на ранних этапах
развития дуальных моделей. Такое обобщение вполне уместно, поскольку, как
мы объяснили в четвертой главе,, суперструны типа I должны быть
неориентируемыми.
Начнем с того, что рассмотрим полупростую группу Ли G и некоторое ее
представление R, которое может быть как комп-
6.1. Открытые струны
327
лексным, так и вещественным (R ф R или R=R). Обозначим через п
размерность представления R. Предположим, что, как показано на рис. 6.1,
на одном конце струны имеется "кварк", преобразующийся по представлению
R, а на другом - "антикварк", преобразующийся по представлению Z?1). И у
кварка, и у антикварка имеется по п состояний, что дает в итоге п2
вариантов. Если R комплексное, то на струне возникает естественная
ориентация, как на рис. 6.1, а, если же R вещественное, то струна может
быть неориентируемой, как на рис. 6.1 ,Ь.
п ~ f>) 77
Рис. 6.1. Открытая струна, на концах которой помещены "кварк" и "анти-
.кварк", преобразующиеся относительно группы внутренней симметрии неким
дополнительным образом. Если кварки лежат в комплексном представлении,
как на рис. а), то мы обозначаем это стрелкой, изображающей направление
.внутренней ориентации струны; если представление вещественно, как на
рис. Ь), то никакой стрелки не ставится.
Исследуем теперь вопрос о квантовых числах различных массовых уровней
открытой струны, снабженной такими зарядами. В гл. 2 мы установили, что
Х' (о, т) имеет следующее разложение по модам:
X1 (а, т) = х' + plx + i ^ а1пе~'пх cos па. (6.1.1)
п Ф О
Параметр а меняется от а = 0 до а = я вдоль струны. Пред--ставим теперь,
что мы переименовали концы струны и параметризовали ее в обратном
направлении. Тогда предыдущая формула заменится на
Х! (л - а, т) = х1 + plx + i ^ {-\)п a}ne~inx cos па. (6.1.2)
п ф О
'Следовательно, обращению направления параметризации соответствует замена
агп^"(-1)пагп. (Аналогичное утверждение имеет место и для фермионных
координат суперструны вне зависимости от того, используется ли формализм
гл. 4 или гл. 5.) Когда факторов Чана - Патона нет, то состояние струны
|Л> - это просто вектор в гильбертовом пространстве осцилляторов.
Представим теперь, что на концах струны имеются кварк а и антикварк В,
где а и b-это л-значные "метки", ассоциированные с представлениями R и R
группы G. Тогда состояние
') Слова "кварк" и "антикварк" лишь указывают на наличие некоторых
^квантовых чисел. Присутствие настоящей массы или спина на концах струны
"делало бы совершенно неприменимым весь анализ предыдущих глав.
328
6. Неабелева калибровочная симметрия
Л> тоже будет нести эти метки, т. е. запишется в виде Л; а, Ь}, причем
первая метка относится к концу струны, параметризованному как о = 0, а
вторая -• к о = я.
Теперь естественно поставить вопрос, будут ли все п2 состояний |Л; а, Б}
присутствовать в спектре или же необходимо ввести какие-то ограничения.
Один из способов исследовать этот вопрос - это рассмотреть спектр
безмассовых векторных частиц. В любой последовательной теории безмассовые
векторные мезоны лежат в присоединенном представлении калибровочной
группы, которая должна быть с точностью до возможных U (1)-факторов
компактной полупростой группой Ли. Действительно, в следующей главе мы
убедимся, что "трехвекторное" взаимодействие открытых струн в точности
совпадает с янг-миллсовским. (Правда, точным это утверждение оказывается
лишь для суперструны типа I, в открытой бозонной струне оно верно лишь с
точностью до О(а'))- Следовательно, если (A; a, Ь> описывает безмассовый
вектор, то все квантовые числа, отвечающие комбинации аБ,. должны
поместиться в присоединенном представлении. В случае когда а и 5
пробегают представления пип группы U (п) соответственно, это выполнено
автоматически, поскольку для: U (п) представление n X п является
