Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку эти матрицы играют в теории довольно существенную роль (из них,
например,
Приложение 5.В
323
удобно строить десятимерные матрицы Дирака), то в этом приложении мы
опишем их явно.
Дираковские матрицы для группы spin (8) - это шестнадцатимерные матрицы,
отвечающие приводимому представлению 8S + 8С группы spin (8). Их можно
записать в блочном виде
О у1. \
* Г) <"•"
хьь '
где через обозначена транспонированная матрица-у^. Условия ^{у1, у7} =
26г/ будут выполнены, если удовлетворяются соотношения
У'аЛь + У'ааУм = 2^6аЬ' *'./== 1 • • • 8- (5'В'2)
и аналогичные с перестановкой индексов с точками и без. Эти соотношения
выполнены, в частности, для семейства матриц у1ай, составленных из блоков
2X2,
Y1 = е X е X е, Y2 = 1 X X е,
у3 = 1 X т3 X е, У4 = т, X е X 1,
Vs = X е X 1, V6 = е X 1 X т,, y7 = 8X1Xt3, v8 = 1 X 1 X 1, где е = i%2,
а т,- - матрицы Паули. Мы полагаем
¦(5.В.З)
УаЬ = Т (У1Аь ~ У'аМ (5-В'4>
и аналогично для матриц у11..
ab
Использованные в гл. 4 майорано-вейлевские спиноры можно легко
интерпретировать на языке описанных выше матриц. Напомним, что
майорановские спиноры в D = 10 имеют 32 вещественные компоненты (в
майорановском базисе), но условие Вейля Гц^ = Я сокращает число компонент
вдвое. По поперечной подгруппе 50(8) группы 50(9, 1) остающиеся 16
компонент классифицируются KaK8s + 8c. Это значит, что матрицы Дирака в
выбранном базисе можно выразить через матрицы у1, определенные формулой
5.В.1, по крайней мере восемь "поперечных" матриц. В качестве девятой
матрицы, антикоммутирующей со всеми восемью предыдущими, можно взять у9 =
(1
= v'y2 • • • V8 = I q j I - Однако десятой антикоммутирующей матрицы
среди матриц 16X16 нет. Такой вывод вполне разу-
324
5. Пространственно-временная суперсимметрия
мен, поскольку в рассматриваемом нами подпространстве Гц = = 1
произведение всех десяти матриц Дирака обязано равняться единице. Поэтому
уравнения Дирака для майорано-вей-левских спиноров (has, А,")
расщепляются на два восьмикомпонентных уравнения:
(0o + 09K + Y^ = O,
(5.В.5)
(<^-<?9K + y^A=°-
Для майорано-вейлевских спиноров противоположной киральности надо
поменять знаки в до ± да.
6. Неабелева калибровочная симметрия
Чтобы теория суперструн действительно могла описывать физическую
реальность, в этой теории должны найти себе место не только
общекоординатная инвариантность и локальная суперсимметрия, но и
локальная калибровочная симметрия, лежащая, как известно, в основе всех
других взаимодействий. •Совершенно ясно, что калибровочная симметрия
гораздо нужнее, чем какая-то локальная суперсимметрия! Одна из
возможностей включить ее состоит в том, что в десятимерном мире вообще
нет никаких калибровочных симметрий, а появляются "ни лишь в процессе
редукции к четырем измерениям. Однако такая схема, которая, по-видимому,
с неизбежностью возникает лри попытках описывать реальность суперструнами
типа II, наталкивается на огромные трудности. Мы частично обсудим этот
круг вопросов в гл. 14.
Более перспективной оказывается схема, в которой калибровочные симметрии
присутствуют сразу в десятимерном мире. В этой схеме процедура
компактификации из десяти измерений в четыре выступает как составная
часть первого шага нарушения симметрии. В данной главе мы исследуем
способы введения калибровочных симметрий в D = 10, а компактификацию и
нарушение симметрии отложим до следующих глав.
Известны две принципиально отличающиеся процедуры введения калибровочной
симметрии. Следуя первой, кратко описанной в разд. 1.5.3, надо поместить
заряды, отвечающие группе внутренней симметрии, на концах открытой
струны; во второй же, напротив, они распределяются по всей замкнутой
струне. Второй путь прямо ведет нас к гетеротическим струнам, которые
обладают рядом существенных преимуществ по сравнению •с другими теориями.
Можно даже утверждать, что если среди известных на сегодняшний день
струнных теорий действительно содержится правильная, то она почти с
необходимостью должна быть теорией гетеротических струн Es X Еа- В этой
главе мы обсудим оба способа введения калибровочных взаимодействий,
326
6. Неабелева калибровочная симметрия
однако предпочтение будет отдано второму, который приводит-к
гетеротическим струнам.
6.1. Открытые струны
В разд. 1.5.3 мы уже обсуждали, как можно'учесть неабелевы калибровочные
симметрии, поместив заряды на концах открытой струны. Наш интерес к этой
теме был связан с той ролью, которую она сыграла в истории адронной
интерпретации струны. Сейчас мы вернемся к ней и уточним ряд моментов,
которые остались в разд. 1.5.3 неразъясненными.
Очевидно, что помещать заряды на концах открытых струн можно лишь в тех
теориях струн, где такие струны действительно имеются. Среди
суперсимметричных теорий струн открытые струны содержит только теория
типа I. Теория типа II,. обладающая суперсимметрией N - 2, с открытыми
струнами связана быть не может, поскольку открытые струны имеют
