Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грин М. -> "Теория суперструн. Том 1" -> 127

Теория суперструн. Том 1 - Грин М.

Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Том 1 — М.: Мир, 1990. — 518 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyasuperstrunt11990.pdf
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 212 >> Следующая

генераторов можно взять п коммутирующих операторов
Wk=[bk,b\\/2, k = l,...,n. (5.А.9)
Приложение 5.А
321
Очевидно, что собственные значения Wk равны ±1/2, и, следовательно,
векторы 7г(± 1, ±1, =Ы) будут весами нашего
2п-мерного спинорного представления. Знак на каждом месте выбирается
независимо и соответствует тому, заполнен ли &-й фермионный уровень или
нет. Как видно из описания оператора у, веса представления будут равны
(±1,+1, ..., ±1)/2 (с четным числом плюсов для одной киральности и с
нечетным- для другой), причем квадрат длины любого веса равен п/4. Теперь
легко увидеть, чем выделяется случай п - 4, соответствующий группе
spin(8). Именно в этом случае квадраты
длин спинорных и векторных (±иг) весов совпадают, и, следо-
вательно, только в этом случае между спинорным и векторным
представлениями группы spin(2n) может возникнуть симметрия. Это и есть
тот самый случай, когда схема Дынкина обладает дополнительной симметрией,
а именно симметрией между спинорами и векторами. Можно явно написать
преобразование в пространстве весов, переводящее векторы в спиноры:
Щ -*¦ (щ + u2 + U3 + и4)/2, и2->(щ + и2 - и3 - щ)/2,
( I \/о (5.А. Ш)
Щ -> ("1 - "2 + м3 - и4)/ 2,
"4 -> (щ - и2 - "з + м4)/2.
Это преобразование в действительности является автоморфизмом алгебры Ли
группы 50(8), так что оно представляет собой ортогональное вращение в
пространстве весов, сохраняющее длины и углы; оно переставляет местами 24
ненулевых веса присоединенного представления. Более того, именно это
преобразование мы использовали в разд. 5.2.1 для бозонизации и
рефермионизации, когда устанавливали связь между фермио-нами, являющимися
пространственно-временными векторами и спинорами. Если прибавить к
преобразованию (5.А.10) преобразование "четности", которое является
автоморфизмом для любой группы SO (2п), то мы получим ту самую
шестиэлементную "триальность", о которой говорилось выше.
Объясним теперь вкратце, каким образом все представления разбиваются на
классы эквивалентности и почему у группы spin(2n) имеется ровно четыре
таких класса. Как мы видели, состояния в неприводимом представлении могут
быть описаны своими весами, т. е. наборами точек в n-мерном пространстве
весов. Рассмотрим множество всевозможных весов всевозможных
представлений. Они образуют решетку, которая называется решеткой весов и
обозначается Kw- Рассмотрим теперь решетку, составленную из линейных
комбинаций весов одного лишь присоединенного представления, причем с
целочисленными коэф-
322
5. Пространственно-временная суперсимметрия
фициентами. Ясно, что эта решетка, называемая решеткой корней Ад, будет
подрешеткой решетки весов Л г.
Мы говорим, что два представления принадлежат к одному классу
эквивалентности тогда и только тогда, когда их весовые векторы отличаются
на вектор из решетки корней. Четыре представления, которые мы описали в
случае группы spin(2n) (фундаментальное, присоединенное и два спинорных),
принадлежат к различным классам. В этом легко убедиться, рассматривая
приведенные выше весовые векторы. Чтобы убедиться в отсутствии каких-либо
других классов, необходимо прибегнуть к гораздо более изощренному
анализу, и здесь мы ограничимся лишь его наброском. Для этого мы
привлечем один факт из теории алгебры Ли. Теорема гласит, что если
простые корни (у алгебры с простыми связями) нормированы так, что ег-ег =
= 2, а именно этой нормировкой мы пользовались, то эта решетка весов
дуальна решетке корней. Это означает, что она порождается набором
базисных векторов е\, г = 1, ..., п, таких, что е*. • е. = д... В этой
ситуации число классов эквивалент-
I J 1} ^
ности вычисляется просто как отношение объема единичнои клетки в решетке
корней к объему соответствующей клетки в решетке весов, поскольку если
два весовых вектора попадают в одну клетку решетки корней, то очевидно,
что они не могут отличаться на корневой вектор. Итак, все, что нужно
сделать, - это вычислить два указанных объема. Нетрудно видеть, что
детерминант матрицы Картана Л,7 = е,--е/ равен квадрату объема единичной
клетки в решетке весов AR. Аналогично, детерминант обратной матрицы равен
квадрату объема единичной клетки в решетке Л^ = Л^. Таким образом, мы
видим, что det At,- равен отношению двух объемов и, следовательно, числу
классов эквивалентности. Взяв приведенные выше явные формулы для простых
корней группы SO(2n), нетрудно показать, что det Л = 4. Следовательно,
четыре описанных выше представления действительно перечисляют все четыре
класса эквивалентности. Просто заметим без дополнительных объяснений, что
алгебры с простыми связями имеют еще лишь группы SU(n) (их представления
разбиваются на п классов эквивалентности) и исключительные группы Еп, у
которых число классов равно 9 - п.
Приложение 5.В. Алгебра Клиффорда для группы spin(8)
В построении матриц Дирака для группы spin (8) с необходимостью участвует
алгебра Клиффорда, порожденная восемью антикоммутирующими матрицами.
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 212 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed