Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
Определим теперь "схему Дынкина". Она состоит из п точек, представляющих
простые корни, и линий, изображающих углы между корнями. В нашем случае
правила построения схем Дынкина особенно просты: точки, представляющие
ортогональные корни и в/, не соединяются, а между точками, отвечающими
корням ег- и е,- с ег--е;- =-1, проводится сплошная одинарная линия. Выше
мы описали, как выбирать простые положительные корни для группы SO(2n),
и, как легко видеть, им отвечает схема Дынкина, изображенная на рис. 5.1,
а. При произвольном п эта схема зеркально симметрична относительна
горизонтальной плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка, но при п =
4 появляется дополнительная симметрия. Схема Дынкина для группы SO (8),
представленная на рис. 5.1, Ь,. инвариантна относительно действия
шестиэлементной группы произвольных перестановок трех внешних линий. В
теории простых групп Ли доказывается общее утверждение, что всякая
алгебра Ли однозначно восстанавливается по своей схеме Дынкина и,
следовательно, автоморфизмы (симметрии) схемы Дынкина
Приложение 5.А
319
порождают соответствующие автоморфизмы алгебры Ли1). Описанная выше
зеркальная симметрия схем Дынкина для SO(2n) соответствует преобразованию
"четности", при котором
Xk->---Xk для любого элемента фундаментального 2/г-мерного
представления группы SO (2гг). Эта симметрия, в частности, меняет местами
представления положительной и отрицательной киральности, которые мы
опишем чуть позже. Дополнительная симметрия, которой обладает схема
Дынкина для 50(8), указывает на существование дополнительных
автоморфизмов, меняющих местами такие представления, которые не
связываются никакими симметриями никаких других групп S0(2n). И
действительно, оказывается, что эта симметрия, называемая три-альностью,
связывает спинорное и векторное представления -SO (8). Ниже мы попытаемся
дать замкнутое, но неполное и нестрогое изложение этого факта, не
апеллирующее к понятию схем Дынкина.
Начнем с явного описания конструкции спинорного представления группы
S0(2n). Для этого нам понадобится вспомогательная система, обладающая
лишь U (п) -симметрией. А именно, введем п фермионных операторов рождения
b*, i== 1, ... ..., п, и соответствующих операторов уничтожения b1, / = =
1, ..., п, удовлетворяющих обычным антиперестановочным соотношениям
{Ь'\ Ък} = [Ъ], Ь\) = 0; {Ь\ Ь*} = а'. (5.А.2)
Очевидно, что эта система может быть представлена в гильбертовом
пространстве размерности 2П. В этом пространстве имеется "фоковский
вакуум" | Q), который аннулируется всеми операторами уничтожения, и
состояния вида |Q^==6*|Q), | Qjtl ) = Ь'Ь/г | Q) и т. д. В общем случае
мы будем обозначать |^/4/2 состояние, полученное действием на фоковский
вакуум произведения k операторов рождения ... bОписанная система явно
обладает U (л)-симметрией, относительно которой, например, Ь1 и Ь\
преобразуются как п и п соответственно; генераторы группы U(п) - это \Ь\
6*]/2.
Менее тривиальным является тот факт, что на самом деле эта система
обладает и естественной SO (2п) -симметрией (точнее,. spin (2п)-
симметрией, поскольку квантовые числа, отвечающие группе SO(2ti),
оказываются полуцелыми). А именно, оп-
*) Эти автоморфизмы являются внешними, т. е. не могут быть заданы каким-
либо элементом самой алгебры Ли.
320
5. Пространственно-временная суперсимметрия
ределим "гамма-матрицы" yk, k = \, 2п, следующими фор-
мулами:
Yк = {Ьк Ь\), k=\, п,
Ук = (bk~n - bk~n)li, k = n + 1, ..., 2п. (5.A.3)
Нетрудно проверить, что они удовлетворяют дираковским анти-коммутационным
соотношениям
{\ь \i} = 2bki, (5.А.4)
и в результате оказывается, что комбинация
o^ = [Yb Y*]/4 (5.А.5)
удовлетворяет перестановочным соотношениям генераторов группы
or/m] = 6;.± перестановки. (5.А.6)
Итак, мы построили 2/г-мерное представление группы SO(2n), называемое
спинорным представлением. Однако оно не является вполне неприводимым.
Оператор
- = 1-п(2п-1^2 _ ^ (5.А.7)
коммутирует со всеми генераторами SO(2n) (фазовый множитель введен
для того, чтобы выполнялось условие
Y2 = l). Спинорные состояния с у -+1 или Y= - 1 называются соответственно
спинорами положительной или отрицательной киральности. Нехитрые
манипуляции с операторами рождения и уничтожения показывают, что каждое
из этих представлений действительно неприводимо. Итак, мы видим, что
у группы SO(2n) есть два неприводимых 2п-1-мерных представления 5±, одно
с положительной, а другое с отрицательной ки-ральностью. Более того,
фермионные операторы рождения b*k антикоммутируют с оператором у и,
следовательно, меняют ки-ральность. Таким образом, если вакуум jQ) имеет
положительную киральность, то SO{2п) -спиноры с положительной кираль-
ностью получаются действием на вакуум JQ) четного числа операторов
рождения
S+ = четное ... jk), (5.А.8)
а спиноры с отрицательной киральностью- действием на него
нечетного числа операторов рождения.
Определим теперь веса спинорного представления. В качестве картановских
