Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грин М. -> "Теория суперструн. Том 1" -> 125

Теория суперструн. Том 1 - Грин М.

Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Том 1 — М.: Мир, 1990. — 518 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyasuperstrunt11990.pdf
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 212 >> Следующая

Приложение 5.А. Свойства групп SO(2n)
Результаты этой главы существенно основываются на некоторых свойствах
группы SO (8). Кроме того, в дальнейших главах нам потребуются свойства
групп 50(16) и 50(32); поэтому мы сделаем в настоящем приложении общую
сводку существенных для нас свойств групп S0(2n). Заметим, что, говоря об
этих группах, подчас желательно проводить различие между собственно
группой вращения в 2п измерениях, S0(2ri), и различными "накрывающими
группами".
Напомним, что группа SU(2) является накрывающей для S0(3) и имеет
представления (с полуцелым спином), в которых вращениям на 2л, отвечает
умножение на -1. Это значит, что группу 50(3) можно отождествить с
факторпространством SL;(2)/Z2, в котором элементы центра группы S?/(2), а
именно диагональные (2 X 2)-матрицы 1 и -1, считаются совпадающими. Эти
группы отличаются топологически: SU(2) односвязна, a S0(3) - нет.
Соответственно все представления SU(2) разбиваются на два класса (с целым
и полуцелым спином), и лишь представления с целым спином являются
представлениями собственно S0(3).
В общем случае, для группы S0(2ti), ситуация похожа, но лишь отчасти.
Центр односвязной накрывающей группы spin(2n) состоит из четырех
элементов, и, как мы в дальнейшем покажем, все ее представления
разбиваются на четыре класса эквивалентности. В картановской
классификации эти группы
Приложение 5.А
317
называются группами серии Dn. Разные накрывающие группы отличаются лишь
своей глобальной топологией, в окрестности же единицы они совпадают,
поэтому между ними нет никакого различия на уровне алгебр Ли.
Как сама группа SO(2ti), так и различные ее накрывающие имеют ранг п. Это
значит, что максимальное число коммутирующих генераторов, отвечающих
любой из этих групп, равно п. Если обозначить Jkt генераторы SO(2n),
имеющие ненулевые элементы вида (Jki) тр ~ 8km8ip- &kpbm, то естественно
в качестве п коммутирующих генераторов выбрать Wk = /2*-1,2k, k = = 1,
..., п. Каждый из Wk производит вращение в плоскости (2k-1,2ft).
Максимальный набор коммутирующих генераторов называется картановской
подалгеброй, и, следовательно, Wk образуют картановскую подалгебру для
группы SO(2ti). Поскольку эти коммутирующие операторы могут быть
диагонали-зованы одновременно, то в любом неприводимом представлении
естественно выбирать базис из общих собственных векторов Wk- Если теперь
вообразить, что Wk определяют направления в некотором "-мерном векторном
пространстве, называемом пространством весов, то каждому базисному
состоянию можно сопоставить вектор в этом пространстве, компоненты
которого есть значения Wk на выбранном состоянии. Такой вектор называется
весовым вектором или просто весом. Нередко оказывается, что представление
удобнее всего задавать, описывая отвечающий ему набор весов. Эго хорошо
известно тем, кто занимается физикой элементарных частиц, на примере
группы SU(3), где третья компонента изосиина /3 и гиперзаряд традиционно
выбираются для того, чтобы метить веса.
Если обозначить п-компонентный вектор (0, ..., 0, 1, 0, ... ..., 0) с
единицей на i-м месте через щ, то векторы ±щ, где i = = 1, 2, ..., п,
опишут нам 2п весов фундаментального представления, в чем читатель может
без труда самостоятельно убедиться. Более того, щ образуют базис в
пространстве весов, и, следовательно, веса любого представления группы
SO(2n) можно разложить по Например, в п(2п-1)-мерном присоединенном
представлении те 2n(n-1) генератора, которые не входят в картановскую
подалгебру, могут быть представлены набором весов ±ui ± u,j /), что тоже
нетрудно проверить. Весовые векторы присоединенного представления
называются корневыми. Заметим, что квадрат модуля корневого вектора равен
единице для весов фундаментального представления ±"/ и двум для весов
присоединенного представления ±щ + ",•; этот факт пригодится нам в
дальнейшем. Среди всех корней можно выбрать ровно п "простых
положительных" корней, образующих базис и обладающих тем свойством, что
все остальные
318
5. Пространственно-временная суперсимметрия
корни разлагаются по ним с целыми коэффициентами, причем эти коэффициенты
либо все неотрицательны, либо все неположительны. Для группы SO(2N)
система простых положительных корней дается формулами ех = и\ - и2, в2 =
и2-щ, ... •• •, вп-1 = ип-1 - ип и еп - tin+i ~Ь ип.
Группы SO(2n) относятся к числу групп с "простыми связями"; это значит,
что все ее корни имеют равную длину. В этих случаях удобно выбирать
нормировку как в предыдущем абзаце, т. е. так, чтобы квадрат длины корней
был равен двум.
Рис. 5.1. а)-схема Дынкина для группы SO(2n)\ b)-схема Дынкина для группы
SO (8) симметрична относительно перестановок трех внешних линий.
Далее определяется (п X п) -матрица Ац, называемая матрицей Картана,
2в[ ¦ е/
(5.А.1>
где е, - простые положительные корни. Диагональные элементы матрицы
Картана очевидным образом равны двум; что* же касается остальных ее
элементов, то для алгебр рассматриваемого типа они равны 0 или -1.
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 212 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed