Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
фермионных связей является связями второго рода. Если игнорировать этот
факт и попытаться, пользуясь формальными правилами, построить скобки
Дирака, то возникают сингулярные выражения, содержащие знаменатели,
обращающиеся в нуль на уравнениях движения. Если не обращать на это
внимания и продолжать двигаться дальше, то возникает интересная
алгебраическая структура, однако неясно, какой смысл можно придать
получающимся формулам и можно ли вообще придать им какой-либо смысл.
Тогда представляется разумным аккуратно разделить связи по родам и
определить скобки Дирака по стандартным формулам для связей второго рода.
Однако новая трудность заключается в том, что невозможно произвести
желаемое разделение явно ко-вариантным образом. Вся система связей
образует 16-компонентный объект, соответствующий майорано-вейлевскому
спинору, но поскольку в D - 10 нет восьмимерных представлений, необходимо
редуцировать явную симметрию, например до поперечной группы spin(8).
Последовательное выполнение такой программы действительно позволяет
получить достаточно строгим образом калибровку светового конуса,
описанную в разд. 5.2.1, но ничем не может помочь в деле ковариантного
квантования.
Какой из всего этого можно сделать вывод? Существует несколько различных
точек зрения, причем каждая из них имеет своих приверженцев среди
специалистов в этой области. Одна точка зрения заключается в том, что
калибровка светового
5.5. Резюме
315
конуса является в высшей степени подходящей и естественной и не следует
стремиться к явной ковариантности. Однако потеря явной ковариантности
кажется не способствующей более глубокому пониманию фундаментальных
принципов струнной теории. Альтернативная позиция сводится к тому, что
надо пользоваться RNS-формализмом, поскольку именно он допускает
ковариантное квантование. Однако в этом подходе чрезвычайно трудно
описать пространственно-временную суперсимметрию, которая является не
менее фундаментальной составляющей супергруппы Пуанкаре, чем группа
Лоренца. Следует отметить, что за последнее время в развитии RNS-
формализма был достигнут существенный прогресс.
Идеальным вариантом была бы такая модификация или реинтерпретация
суперсимметричного действия суперструны, которая позволила бы провести
квантование так, чтобы полная супер-пуанкаре-инвариантность оставалась
явной симметрией. Такое действие могло бы послужить базой для
формулировки полевой теории суперструи, которая обладала бы
общекоординатной инвариантностью в суперпространстве (или, возможно, ее
бесконечным расширением, адекватным теории струн). Может оказаться, что
найти суперполевую формулировку для суперструны вне массовой поверхности
будет даже проще, чем сделать это для суперсимметричной теории Янга -
Миллса при D = 10, где такое описание также пока что отсутствует. Во
всяком случае, в последней теории, возможно, требуется бесконечное
количество вспомогательных полей для достижения явной суперсимметрии
(замкнутости алгебры вне массовой поверхности) , и в струнном контексте
эта идея не выглядит совсем уж неестественно. Некоторые предложения в
этом направлении уже сделаны, хотя пока что рано судить, насколько они
будут успешны.
5.5. Резюме
Итак, мы построили ковариантное действие для суперструны, которое
обладает явной пространственно-временной суперсимметрией. Помимо обычной
репараметризационной инвариантности у этого действия есть еще чрезвычайно
специфическая локальная фермионная симметрия. В ковариантной калибровке
мы получаем сложную систему связей как первого, так и второго рода,
распутать которую можно только ценой потери явной ковариантности. Таким
образом, пока не будет найдена какая-то подходящая модификация основных
формул, ковариантное квантование невозможно.
В калибровке светового конуса уравнения для фермионных координат сводятся
к уравнениям свободного двумерного фер-
316
5. Пространственно-временная суперсимметрия
мионного поля. При этом фермионные координаты оказываются принадлежащими
представлению 8S поперечной группы вращений spin (8) в отличие от
фермионов из четвертой главы, которые в калибровке светового конуса
принадлежат к представлению 8V (векторному). С помощью процедуры
бозонизации и обратной фермионизации удалось установить эквивалентность
двух этих формулировок. Чтобы осознать нетривиальность этого результата,
надо учесть, что сама алгебра 8S спиноров автоматически приводит к
мультиплету 10-мерной супер сим метр и и, а чтобы получить этот же спектр
из спиноров 8V, пришлось использовать два типа граничных условий и в
каждом из секторов, и в бозонном, и в фермионном, оставить в спектре лишь
состояния с четным фермионным числом по фермионам мировой поверхности.
Формализм этой главы, который позволяет единым образом описывать бозоны и
фермионы и автоматически учитывать условие GSO, позволяет существенно
упростить многие вычисления, и мы будем широко использовать его в
дальнейших главах.
