Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
те члены, которые инвариантны относительно перестановки |фо> и |<р0>. Это
соответствует градуированной симметризации тензорного произведения двух
янг-миллсовских супермультиплетов
I(8V + 8С) X (8V + 8с)]град. симм =
= (8V X 8у)снмм. + (8v X 8С) + (8с X 8с)антнсимм. =
= (1 + 28 + 35v)в + (8S + 56,),. (5.3.45)
Такой состав частиц отвечает киральной супергравитации типа I в D = 10.
Рассматривая массивные состояния замкнутой струны, важно учесть, что
левых и правых возбуждений должно быть поровну (Lq = Lq). Это условие
обеспечивает независимость струнных переменных от выбора начала отсчета
по переменной а. Таким образом, и для массивных уровней остается в силе
то правило, которое мы вывели при рассмотрении безмассовых уровней. А
именно, состояния замкнутой струны, образующие п-й массивный уровень,
представимы в виде тензорного произведения состояний п-го уровня открытой
струны на себя. Это утверждение справедливо даже для теорий типа II,
которые вовсе не содержат открытых струн. (Они их не содержат по той
причине, что в таких теориях есть два гравитона, которые должны
взаимодействовать с двумя супертоками, а мультиплеты открытой струны
обладают лишь (N = 1) -суперсимметрией.) Заметим, что поскольку массивные
мультиплеты для открытых струн некиральны, то между массивными
мультиплетами теорий типа IIA и IIB не будет никакой разницы. Спектры
этих теорий отличаются только на безмассовом уровне. Таким образом, какую
бы теорию мы ни рассматривали, на первом возбужденном уровне будет (256)2
состояний, задаваемых формулой
(44 + 84 + 128) (r) (44 + 84 + 128). (5.3.46)
Каждый из множителей представляет собой массивный (N = 1 )-
супермультиплет, а значит, все произведение в целом является (N = 2)-
мультиплетом, причем каждая из суперсимметрий действует только на свой
сомножитель. Иными словами, один супер-
5.3. Анализ спектра
313.
заряд связан с правыми модами, а другой - с левыми. Что касается струн
типа I, то здесь необходимо учесть еще градуированную симметризацию, и в
результате остается '/г (256)2 состояний. Такие мультиплеты обладают лишь
одной суперсимметрией, которую генерирует сумма двух суперзарядов (N = 2)
-теории.
Формулу для асимптотической плотности состояний замкнутой струны можно
вывести прямо из аналогичной формулы для открытой струны. При этом
множителем два, на который отличаются плотности для струн типа I и II,
можно пренебречь, поскольку мы не следим за столь тонкими различиями.
Если в открытой струне на уровне а'т2 = п имеется dn состояний, то в
замкнутой их будет (dn)2 при а'т2 = Ап. Таким образом,
dn = (d°nP)2 ~ я~11/2ехр (4л V2п) (5.3.47)
при л->- оо, откуда следует, что
ре/ (т) ~ т~ю ехр (т/т0) (5.3.48)
при т -*¦ оо, где ___
т0 = (пл/8а')~1. (5.3.49)
Отметим, что критическая температура то как в замкнутом, так
и в открытых секторах суперструн типа I одинакова, однако из-
за различия степеней т в предэкспоненте открытая струна имеет большее
количество состояний в асимптотике.
5.4. Некоторые замечания о ковариантном квантовании
Препятствия, возникающие на пути ковариантного квантования
суперсимметричного действия суперструн, радикально отличаются от всего
того, с чем мы встречались во второй и четвертой главах. Из действия
следует сложная система связей, перепутывающих канонические координаты и
импульсы, и приходится обращаться к развитому Дираком формализму
квантования гамильтоновых систем со связями.
Чтобы воспользоваться дираковской процедурой, необходимо разделить все
связи на два класса: на связи первого рода и связи второго рода. К связям
первого рода относятся те, что образуют замкнутую алгебру. К этому типу
относились рассмотренные в предыдущих главах связи Вирасоро и супер-
Вирасоро, и мы сформулировали два возможных пути учета этих связей с
явным сохранением ковариантности. "Старый" способ заключается в том,
чтобы интерпретировать связи как дополнительные условия, налагаемые на
векторы фоковского пространства стру-
314
5. Пространственно-временная суперсимметрия
ны. В "современном" подходе вводятся поля духов Фаддеева - Попова и
определяется BRST-заряд. Обе эти конструкции применимы, как правило, для
связей первого рода. Связями второго рода называются связи, не образующие
замкнутой алгебры. При появлении связей второго рода дираковская
процедура предписывает произвести замену скобок Пуассона (коммутаторов)
на модифицированные выражения, называемые скобками Дирака.
У суперсимметричного действия суперструны имеются связи как первого, так
и второго рода. Связи второго рода появляются из-за того, что грассмановы
импульсы Ре, сопряженные координатам 04 в (5.1.20) (5.1.22), не являются
независимыми пере-
менными в фазовом пространстве. Это можно усмотреть прямо из определения
<5А1>
которое выражает импульсы как функции XР^, 0Л и их сг-про-изводных. Более
того, можно показать, что половина фермионных связей относится к первому
роду и вместе с образует расширение алгебры Вирасоро. Вторая же половина
