Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
Спектр второго возбужденного уровня содержит (а'М% = 2) состояния
о'_2|ф0>, S"2 | ф0), aLja^j | ф0>,
SljSli^o), "IjSl, | tp0>, (5.3.34)
описывающие в сумме 2304 моды. Чтобы представить его в обозримом виде,
лучше всего воспользоваться номенклатурой мультиплетов группы spin (9)
вида
9 (r) (44 +84 + 128). (5.3.35)
Это неприводимый массивный А/'=1 супермультиплет с максимальным спином 3
(поскольку 9 содержит "спин 1", а 44 - "спин 2"). Отметим, что любой
неприводимый супермультиплет может быть представлен как тензорное
произведение некоторого фундаментального супермультиплета на неприводимое
спи-норное представление. В рассматриваемом случае (44 + 84 + + 128) как
раз и является фундаментальным массивным супер-
310
5. Пространственно-временная суперсимметрия
мультиплетом. На третьем возбужденном уровне имеется 15 360 состояний,
собирающихся в два супермультиплета в соответствии с формулой
(44 +16)(r) (44+ 84+ 128). (5.3.36)
Асимптотически полное число супермультиплетов массы М есть
экспоненциально растущая функция М. Это становится очевидным, если
учесть, что общая степень вырождения растет экспоненциально, тогда как
размер максимального супермультиплета на уровне п растет лишь
полиномиально.
Для вычисления асимптотической плотности состояний можно использовать
технику, развитую в разд. 2.3.5. В нашем случае коэффициенты вырождения
dn определяются из формулы
jr dBa>" = tr го" = 16 Д (т=-^-)8. (5.3.37)
Я=0 П=1
где N - сумма операторов числа частиц для мод ah и см. формулу (5.2.40),
а след берется по обоим наборам осцилляторов. (Подчеркнем, что здесь
стоит именно "след", а не "суперслед", который отличается дополнительным
множителем (-l)f, дающим общий знак минус для вклада фермионов. В
суперсимметричной теории суперслед очевидным образом обращается в нуль.)
Фактор П(1-wn)~8 - это вклад бозонов, возникающий в точности так же, как
в бозонной струне. При п > 0 фермионные состояния, образующие базис для
S", могут быть либо пустыми, либо заполненными, что дает вклад (1 + ш)я
на каждую моду, и мы получаем бесконечное произведение, стоящее в
числителе. Множитель 16 учитывает вырождение вакуумного состояния.
Используя тот же прием, что и в разд. 2.3.5, можно найти собственно
асимптотику для плотности состояний. В нашем случае асимптотическое
поведение (5.3.37) определяется из разложения exp(2 1n(l-wn) (1+ wn)~v)
при что дает
16П(т^)'~"ф(т^)- <5'338>
П= 1
Можно получить более точную оценку, включающую и префак-тор, с помощью
обобщения формулы Харди - Рамануджана
П (4=?Г' "9* <°1 ш)=(- -Tr Г"9'(01 <5-3-39)
5.3. Анализ спектра
31t
где 04 и 02 суть тэта-функции Якоби. Как определения этих функций, так и
их трансформационные свойства при отображении о"->- ехр (л/1п w)
обсуждаются при вычислении петлевых диаграмм в приложении 8.А. Повторяя
приведенные в разд. 2.3.5 рассуждения, основанные на контурном
интегрировании, мы получаем
dn ~п-п/4ехр(яд/8п) (5.3.40)'
при п -> ОО или
р (m) ~ т~9/2ехр (т/т0) (5.3.41)
при т->-оо, где ___
т0 = (л V 8а')-1. (5.3.42)
5.3.2. Замкнутые суперструны
Для описания замкнутых суперструн необходимы два набора осцилляторных мод
- один для правого сектора, один для левого. Спектр безмассовых состояний
описывается, например, прямым произведением |фо>Х|фо>- Все теории при
этом делятся на две группы в зависимости от того, будут ли исходные
майорано-вейлевские спиноры иметь одинаковые или противоположные
киральности. Если киральности спиноров не совпадают, то никакой
дополнительной симметризации провести нельзя и безмассовый мультиплет
содержит 16X 16 = 256 мод. В обозначениях группы spin(8) он
представляется в виде тензорного произведения двух янг-миллсовских
супермультиплетов противоположной киральности:
(8V + 8С) (r) (8V + 8S) = (1 + 28 + 35v + 8V + 56v)b +
Ч- (8S 8C -(- 56s -|- 56c)f, (5.3.43)
где индексы В и F указывают на бозонные и фермионные состояния
соответственно. Полученный состав частиц отвечает IIA-супергравитации в D
= 10. Именно такой некиральный мультиплет получается при тривиальной
размерной редукции су-пергравитации в D = 11.
Если теперь оба спинора имеют совпадающую киральность, но не наложено
никаких дополнительных ограничений, то мы опять-таки получаем 256 мод.
Однако представление в обозначениях группы spin (8) будет теперь иным: мы
получаем тензорное произведение двух янг-миллсовских супермультиплетов
одинаковой киральности:
(8V + 8С) (r) (8V + 8С) = (1 + 28 + 35v + 1 + 28 + 35с)в +
+ (8s + 8s + 56s + 56s)f. (5.3.44)
312
5. Пространственно-временная суперсимметрия
Такой набор частиц отвечает IIB-супергравитации в D = 10, и его нельзя
получить размерной редукцией какой-либо теории в старшей размерности. 35v
представляет гравитон, а 35с представляет автодуальный антисимметричный
тензор четвертого ранга.
Однако в рассматриваемом случае, когда киральности спиноров совпадают,
можно наложить дополнительное условие симметричности, т. е. оставить лишь
