Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
?+ = 0. (5.3.14)
Равенство (5.3.13) представляет собой условие связи, позволяющее выразить
X,- через восемь независимых переменных
r = ?'(fe)?''/?+. (5.3.15)
Эта формула соответствует утверждению о том, что в янг-милл-совском
вектор-потенциале лишь поперечные степени свободы являются независимыми.
Векторное состояние задается формулой
1?> = 10Е'(*). (5.3.16)
Из приложения 4.4 мы знаем, как при преобразованиях суперсимметрии
преобразуются безмассовые поля в суперсиммет-ричной теории Янга - Миллса.
Преобразованиям суперсимметрии физической волновой функции отвечает
свободный линеаризованный предел в этих преобразованиях. При этом следует
иметь в виду, что, рассматривая преобразования в калибровке
5.3. Аиализ спектра
307
¦светового конуса, нужно добавить еще компенсирующее калибровочное
преобразование, которое обеспечивает выполнение условия А+ = 0 в
преобразованной системе. В том же приложении 4.А мы нашли явный вид
линеаризованных преобразований суперсимметрии Янга - Миллса; с учетом
компенсирующего калибровочного преобразования с параметром A(x) они
записываются следующим образом:
6 = у ёГЧ + дцЛ, (5.3.17)
6ф= -1^Г^8. (5.3.18)
Из условия 6/4-*- = 0 находим, что
Л = -2^ёГ+1|>, (5.3.19)
и в результате преобразования суперсимметрии для поперечных компонент А1
приобретают вид
6Л? = -^8ГЧ-"'J?T8r+i|>, (5.3.20)
а линеаризованные преобразования т|э остаются прежними. Чтобы перевести
эти формулы на язык восьмикомпонентных SO (8) -обозначений, мы должны
разбить шестнадцатикомпонентный майорано-вейлевский спинор е на два
"куска" if* и е" в соответствии с формулами
-i-r+r_e~Tb ~ Г~Г+е ~ е", (5.3.21)
где знак ~ указывает, что общая нормировка остается произвольной.
Аналогичным образом разделяется на принадлежащие SO (8) составляющие (ф°
и г|}а) спинор т|з. Соотношения
ёГ+ = еГ"Г+/л^ ёГ_=еГ+Г_/л/2" (5.3.22)
позволяют без труда произвести соответствующее разбиение на принадлежащие
SO (8) составляющие в формулах (5.3.20) и (5.3.18). Закон
преобразования ^ и м возникает при отождествлении ? ~ А
и и ~ i|>; здесь мы пренебрегаем тем обстоятель-
ством, что спинорная волновая функция и представляет собой обычное число,
а не элемент грассмановой алгебры, как if.
Можно вывести эти преобразования и другим способом, а именно рассматривая
реализацию суперсимметрии на состояниях безмассового мультиплета |ы) и
|?>. Для этого придется
308
5. Пространственно-временная суперсимметрия
воспользоваться выведенными ранее формулами для нулевых мод суперзарядов:
Qa = (2р+У/2 So, (5.3.23>
<? = (р+Уту[.р'5ао. (5.3.24)
Тогда для ^-преобразований, определенных формулами (5.2.25) и (5.2.26),
мы получаем
rfQa | и) = ц (2k+)1/2 5? | а) ий (6)/У fe7 =
= 4fya.\i)u4k) = \i) (5.3.25)
и
TlaQa IS):= Ц (2k+)1'2 5oa 10 ^ (k) =
= 4° (k+)42 ¦ Vaa I "> S' (*) = I Й). (5.3.26)
В этих формулах через ? и й обозначены волновые функции, возникающие при
т1а-суперобразованиях из иа и соответственно. Они задаются выражениями
I1 = У\Хий № (5.3.27)
йй = ца1г+у1а?1{к), (5.3.28)
которые совпадают с тем, что мы только что получили из вариаций янг-
миллсовских полей. Аналогично для е-суперпреобра-зований, генерируемых
посредством Qd, имеем
eaQ"|S) = |S>, (5.3.29)
&&Qa | ") = 11), (5.3.30)
где преобразованные волновые функции заданы формулами
йй = -j=r (г\ц)й k%> + -±= (5.3.31)
и _
Ь =-\=-гй\1.иа-{- (5.3.32)
V2 аа k+
Эти выражения опять-таки совпадают с тем, что было получено в теории Янга
- Миллса.
Рассмотрим теперь массивную часть спектра суперструны. Простейший способ
получить возбужденные массивные состояния открытой суперструны - это
подействовать операторами a'_n и 5" " на основное состояние | <р0>. На
каждом таком уровне
5.3. Анализ спектра
30"
мы получаем столько же фермионов, сколько их возникало при RNS-описании.
Фермионы составляют половину состояний каждого уровня, и их число
очевидным образом совпадает с числом состояний, полученных применением
операторов а1_п и d*_n к восьмикомпонентному основному состоянию. Число
бозонов явно совпадает с числом фермионов и таким образом тоже
согласуется с требованиями, налагаемыми условиями GSO на спектр. Однако
теперь мы можем быть уверенными в том, что располагаем полным
супермультиплетом, поскольку конструкция разд. 5.2.2 дает нам явную
реализацию алгебры суперпреобразований на физическом спектре.
Физические состояния первого возбужденного уровня суть
all |Фо)> 5-i | Фо>; (5.3.33)
они описывают по 128 бозонных и фермионных мод. Не составляет труда
представить эти состояния в виде мультиплетов spin (9), как и должно
происходить с массивными возбуждениями. Возникающие здесь представления
группы spin(9) - это 44 + 84 (отвечающие схеме Юнга cn + jjj ) для
бозонов и 128-мультиплет "спина 3/2" для фермионов. Этот набор в точности
соответствует спектру 11-мерной супергравитации, что, впрочем, и
неудивительно, поскольку массивные мультиплеты в D-мерии классифицируются
так же, как безмассовые в размерности D + 1.
