Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
временная трансляция, и в калибровке светового конуса она
интерпретируется как комбинация трансляций на мировой поверхности и в
поперечном направлении. В этом можно убедиться, рассмотрев действие двух
последовательных преобразований (с параметрами if1*0, е^1>й и if2>a,
е(2,") на координаты. Результат для коммутатора имеет вид
[6Ь 62] Х' = 1адаХ1 + а1, (5.2.30)
[в" 62]Sa = ladaSa, (5.2.31)
причем здесь мы воспользовались уравнением движения р-<35"= = 0.
Параметры ?" связаны с антикоммутатором двух е-преоб-разований и задают
трансляции в направлениях а и т по формуле
1а = -2/е(1)рае(2). (5.2.32)
Сдвиг поперечных координат задается параметрами а':
а1 = д/'2 - У2 (5.2.33)
Из теоремы Нётер следует существование сохраняющихся
зарядов для г)а- и е"-суперпреобразований; их можно найти*
обобщая процедуру, использованную во второй главе для получения зарядов
группы Пуанкаре. Можно и сразу найти ответ, увидев из формул (5.2.25) и
(5.2.26), что ^"-преобразования генерируются оператором
Q° = (2p+)I/2So,
(5.2.34)"
5.2. Квантование
301
а генераторы е°-преобразований (5.2.28) и (5.2.29) суть
ОО
(5.2.35)
Эти 16 зарядов представляют собой компоненты ковариантного майорано-
вейлевского спинора, удовлетворяющего алгебре {Q, Q} ~ (1 ± Гц)Г-р. В
обозначениях группы spin(8) уравнение расщепляется на три, а именно
есть гамильтониан в калибровке светового конуса, причем
Нормальное упорядочение не меняет этой формулы (в точности как в R-
секторе RNS-модели), поскольку энергии нулевых колебаний мод а и S
взаимно уничтожаются. Условие массовой поверхности записывается просто: Н
= р~. Заметим, что Qa - это квадратный корень из р+, a Qd - из Я.
Рассмотрим теперь, что происходит с генераторами группы Лоренца. При
ковариантных лоренцевых вращениях, генерируемых bfxvJ^, соответствующие
вариации спинора 0 пропорциональны 6nvV^v0- Такое преобразование
сохраняет калибровочное условие Y+0 = 0 для J+i' 7'7 и J-*-, но не для
J'~. В этом случае в правильное преобразование должны войти ?- и х-пре-
образования, которые и восстановят калибровку. В результате для всех
генераторов, кроме мы получаем очевидные выражения, которые возникают при
прямой подстановке калибровочного условия в соответствующие нётеровы
заряды, отвечающие ковариантному действию. В целом же ответ напоминает
то, что мы получали в предыдущих главах:
{Q°, <?} = 2p+ba>,
{Q°. Qd) = V2" У1айр\
{Q6, Qs} = 2Я6"6,
(5.2.36)
(5.2.37)
(5.2.38)
где
Я = ^г((р,')2 + 2N)
(5.2.39)
оо
(5.2.40)
где
(5.2.42)
(5.2.41)
и
оо
(5.2.43)
302
5. Пространственно-временная суперсимметрия
При вычислении необходимо учесть, что а+ = 0 (следовательно, ?^+ = 0);
кроме того, действуя как в гл. 2, мы можем разрешить связи Вирасоро для
координаты Х~(а, т), что дает
оо
°" +("-тК-Х)' <5-2-44)
- ОО
В частности, a<j' = Н. Генераторы задаются формулами
^+ = 0,
КЦ = К1',
оо
(5.2.45)
- ОО
- ОО
Алгебра операторов а~ и в точности совпадает с соответствующей алгеброй
четвертой главы, но в фермионном секторе участвуют осцилляторы dh, а не
S". Причину такого совпадения можно уяснить, используя понятие
триальности, описанное в приложении 5.А. Используя результаты гл. 4, мы
получаем [/г_, //-] = 0, что и доказывает лоренц-инвариантность в
размерности Z> = 10, и мы можем теперь перейти к описанию полной
супералгебры Пуанкаре. Поскольку мы уже вычислили антикоммутатор двух
суперобразований, то все, что остается сделать, - это выяснить,
действительно ли суперзаряды преобразуются при лоренцевых преобразованиях
как компоненты спинора в размерности D = 10. Вычисления здесь достаточно
просты. Например,
I/'", о"] = - i У V ? -J-a<-" ta;r' s°4+S [*" • sol=
n=j?= 0
- 00
В теориях типа II имеются два набора суперзарядов. В интегральной форме
получаются следующие выражения для теории
5.3. Анализ спектра
303
типа II В:
Я
р' = \йхР\ (а, т), (5.2.47)
о
н = 5 da [л2 (Р1ху + {Х'У - iS'S1' + /S2S2'], (5.2.48)
i"
Q^i-(2p+)1/2$dorS^, (5.2.49)
О
Q? = ^ (P+Tm f da (y'S,)a (nPi - J'O, (5.2.50)
0 n
Qt = ± (p+)~m J da (у%Г {nP\ + X4), (5.2.51)
0
где
P\ (a, r)=±Xl (a, x) = -i -^--------- . (5.2.52)
я 6X (a, t)
Аналогичные выражения существуют и для 7^v.
5.3. Анализ спектра
Исследуем спектр физических состояний, возникающий в описанных выше
теориях. Как и прежде, в разд. 2.3.4, мы будем работать в конусном
описании, что позволит нам подсчитывать число степеней свободы прямо, не
заботясь о связях. Однако даже и в таком подходе можно следовать
различными путями. В частности, можно использовать RNS-формулировку из
разд. 4.3.2, а можно - и явно суперсимметричное описание в обозначениях
группы spin (8) из этой главы. В этом разделе мы рассмотрим обе
возможности, но в основном будем заниматься формулировкой spin (8). В гл.
11 мы опишем конусную формулировку, использующую координаты,
принадлежащие к представлениям SU(4)X Щ1)-подгруппы spin(8); такая
формулировка удобна для вычислений методом функциональных интегралов.
