Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
надо сначала бозонизовать фермионы \|)г, а потом обратно их
фермионизовать. Начнем с того, что введем четыре вещественных скалярных
поля1):
¦~j=r eaf5dpq>2 = (5.2.22)
1 a(5-э т 5 a I 6
8 = l|) p 1)3 ,
1 ав-э 77 a 18
~7=-e Рдэф4 = ^р 1)3 .
V31
') В третьей главе мы описали процедуру бозонизации и показали, что в
бозонных переменных фермионный ток имеет вид производной скалярного поля.
Эти формулы были получены в голоморфных или конусных
координатах; в произвольной координатной системе их
аналогом будет
_/•* - е^дуф; эта величина с очевидностью сохраняется.
298
5. Пространственно-временная суперсимметрия
Затем составим из этих полей комбинации
(5.2.23)
И наконец, фермионизуем эти поля, введя восемь майоранов-ских фермионов
по формулам
Групповая структура группы SO(8) или spin (8) в этих формулах видна
довольно плохо. Из всех генераторов группы 50(8) в явном виде
присутствуют только четыре, отвечающие токам, использованным в формуле
(5.2.22). Они коммутируют друг с другом и образуют на самом деле
максимальный коммутирующий набор генераторов 50(8). Такой набор
генераторов называется картановской подалгеброй. Относительно картанов-
ской подалгебры фермионы 5а, определенные в (5.2.24), имеют полуцелые
квантовые числа из-за наличия множителей 1/2 в (5.2.23) и преобразуются
как 50 (8)-спиноры. Кроме того, они преобразуются по представлению 8S,
тогда как представление 8С можно получить, поменяв некоторые знаки в
(5.2.24). Строгое доказательство этого утверждения можно получить,
рассматривая явные формулы бозонизации ф --- приведенные в гл. 3, однако
здесь мы не будем этим заниматься, а будем рассматривать приведенные выше
формулы как наглядную иллюстрацию связи между двумя разными подходами.
Обсуждение свойства триальности в приложении 5.А значительно прояснит
смысл отдельных элементов нашей конструкции.
Надо отметить' одну чрезвычайно важную тонкость. В бесконечном объеме
бозонизацию фермионов можно осуществить-без особых осложнений, но в
конечном объеме (например, на
-j=r е"Рдр(72 = 53ра54,
(5.2.24)
-^=г- е"рдв(7з = 55ра56,
ул р
- еаРдйа4 = 57ра58. Ул р
5.2. Квантование
299
струне) возникают разнообразные трудности, с некоторыми из которых мы
встречались в гл. 3. В частности, бозонизация и последующая обратная
фермионизация вносят изменения в граничные условия для фермионов, и в
результате лагранжианы в (5.2.10) и (5.2.21) почти, но не вполне
эквивалентны, причем это различие имеет фундаментальное значение. Как мы
установили при исследовании представлений алгебр для Sa и г|э',
лагранжиан (5.2.10) автоматически составляет из бозонов и фермионов
супермультиплеты. Но для лагранжиана (5.2.21) мы должны выбрать одни
граничные условия, чтобы получить при квантовании фермионы, и другие -
чтобы получить бозоны. Но, кроме этого, спектр в каждом секторе еще
необходимо обрезать до подпространства с (-1)F = +1.
5.2.2. Супералгебра Пуанкаре
В рассматриваемой здесь формулировке суперсимметрию можно описать
довольно просто, и это одно из преимуществ такого подхода по сравнению с
формализмом гл. 4. Для упрощения дальнейших рассуждений мы опустим индекс
А, что отвечает открытым струнам или одному из секторов (правому или
левому) замкнутых струн. Чтобы увидеть, как работает суперсимметрия в
калибровке светового конуса, напомним, что в законе преобразования для
ковариантного действия в разд. 5.1.2 была формула S0 = е. При таком
преобразовании калибровочное условие Г+0 = 0 не сохраняется, если только
не потребовать Г+е = 0. В последнем случае ёГ!'0 = 0, в чем можно
убедиться, повторяя предыдущие рассуждения. Следовательно, в обозначениях
группы spin (8) эти восемь суперпреобразований будут лметь вид
6Sa = '^2pri1°, (5.2.25)
6Х1 = 0. (5.2.26)
Очевидно, что действие в калибровке (5.2.10) инвариантно относительно
этих преобразований. Множитель л/2р+ введен для удобства последующих
выкладок.
Восемь других компонент суперпреобразований отвечают Г+е Ф 0. Они
соответствуют спинору ей представления 8С. Чтобы сохранить условие Г+0 =
0, необходимо сочетать е-пре-образование с х-преобразованием
60 = е + 2/Г • Паха, (5.2.27)
где к выражается через е так, чтобы правая часть занулялась
под действием Г+. В результате мы получаем следующее пре-
300
5. Пространственно-временная суперсимметрия
образование (опять в обозначениях spin(8)):
б5° = - /р • (5.2.28)
ьх' = VV- (5.2.29)
Коэффициенты Клебша - Гордона ylad связывают три неэквивалентных
восьмимерных представления. Явные формулы и свойства этих коэффициентов
приведены в приложении 5.В. Для проверки этих формул читатель может прямо
убедиться, что относительно таких преобразований действие (5.2.10)
инвариантно. Преобразования (5.2.29) выглядят как преобразования
суперсимметрии в двумерной теории поля. При такой интерпретации ей
становятся параметрами, отвечающими восьми двумерным суперзарядам.
Антикоммутатор двух преобразований суперсимметрии есть пространственно-
