Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Частоты, лежащие в центральных участках плато (см. рис. 63), заключены в
интервале 1,4300 < Q( < 1,4333 независимо от геометрических размеров
прямоугольника при L > 2. Для L < 2 при движении вдоль плато частоты
изменяются в большем диапазоне. Если ориентироваться на данные при L > 2,
то, принимая для частоты краевого резонанса значение йе = 1,4311,
находим, что эта величина всего на 0,5% отличается от определенной
экспериментально.
Отметим, что частота краевого резонанса существенно зависит от
коэффициента Пуассона, повышаясь с его увеличением. В связи с этим такую
зависимость предлагалось использовать в качестве основы для
экспериментального определения величины v [226].
Спектр собственных частот на рис. 63 имеет характерные зоны, одна из
которых выделена кривой S. В общем случае колебательных систем со многими
степенями свободы наличие таких зон указывает на связь между различными
нормальными колебаниями [89]. Это обстоятельство необходимо иметь в виду,
приступая к анализу форм колебаний. Формы колебаний, соответствующие
определенному типу движений, проявляются только для частот, достаточно
удаленных от зон взаимодействия.
Существенные различия между типами движений, соответствующими точкам
плато и ниспадающим участкам кривых ниже и выше йе, наглядно видны на
рис. 68. Здесь представлено распределение вдоль поверхности г = 1
нормального к ней компонента вектора смещений иг (х, 1) для третьей (й =
1,2650), четвертой (Q = = 1,4333) и пятой (й = 1,5158) собственных форм
прямоугольника с величиной L = 6 (кривые 3-5 соответственно). Как видно
из рис. 63, для такой геометрии четвертая собственная частота является
центром плато. В соответствующей ей форме зона относительно больших
смещений и напряжений сосредоточена вблизи торцов прямоугольника. Это
подтверждается, в частности, данными рис. 69, где показано распределение
вдоль оси 2 = 0 нормального напряжения стг. При удалении от торца х = L
величина напряжений резко падает.
В свете указанной ранее связи между краевой модой и нераспространяющимися
модами в слое важным является вопрос о зависи-
187
0,5
-0,5
У ' ч
2 (Д
П', 5Lj 0,5 0L Уо,1 5L х
У
-1,0 Рис. 70.
0,5
•0,5
\ 4 "\s
у
У 25L 0,5 \ ) ои \ о, ?5L \х
-1,0 Рис. 71.
мости характеристик краевого резонанса от геометрических размеров
прямоугольника. Разумеется, соответствующее сравнение необходимо
проводить для частот, отвечающих центрам плато. При этом оказывается, что
распределения иг (х, 1) для краевой моды при L = 4, 6, 8, ... оказываются
практически неразличимыми.
Отметим, что краевая мода в прямоугольнике обнаруживает весьма слабую
связь с продольными модами колебаний. Характеристики формы колебаний при
движении вдоль любого плато остаются практически неизменными. Это
подтверждается данными рис. 70, на котором представлено распределение иг
(х, 1) для L =¦ = 3 при Q = 1,4142 - мода Ламе (кривая 2) и Q = 1,4333 -
краевая мода (кривая 3). Такое значение геометрии практически
соответствует краю плато, однако и здесь краевая мода обладает своей
характерной формой.
Дополнительные расчеты, проведенные для v = 0,31, показа-
188
ли, что в этом случае частота краевого резонанса заключена в интервале
1,4805 < Qe < 1,4840. Это хорошо согласуется с данными работы [281 ], где
методом однородных решений с использованием одной распространяющейся и 10
пар нераспространяющихся мод найдено значение Qe = 1,4830. Однако для L =
4,545 указанный выше интервал не содержит собственной частоты. Вместо
этого две собственные частоты заключены в интервалах (1,4728-1,4764) и
(1,4910-1,4946). На рис. 71 показано распределение uz(x, 1) для частот Q
= 1,4728 (кривая 3) и Q = 1,4910 (кривая 4). Нетрудно видеть, что ни одну
из этих собственных форм колебаний нельзя принять за краевую моду.
Интересной особенностью, связанной с наличием краевой моды в
прямоугольнике, является уменьшение на единицу числа узлов в
распределении иг {х, 1) при движении вдоль каждой спектральной кривой.
Этот вопрос, а также вопрос о поведении собственных форм в зоне
взаимодействия краевой и продольной мод, выделенной на рис. 63 кривой S,
более подробно рассмотрен далее в главе 6 при изучении краевого резонанса
в диске. Здесь мы остановимся на анализе распределения средней за период
энергии по площади прямоугольника для разных форм колебаний [47]. При
этом особенности краевой моды получают еще энергетическое выражение.
Конкретные вычисления проведены для двух типов возбуждающих колебания
нагрузок на торцах прямоугольника:
Безразмерная величина, пропорциональная средней за период накопленной в
теле энергии, вычисляется по формуле
L 1
В табл. 10 и 11 приведены значения величины Е на разных частотах для
первого и второго случаев нагружения соответственно. Вычисления выполнены
для L = 6, v = 0,248. Пять первых резонансных частот для такого тела
заключены в интервалах (0,2585-
(1,5015-1,5125). Краевому резонансу соответствует четвертая частота.
