Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
математического плана В данной работе мы не будем подробно рассматривать
вопросы оценки возможностей и пределов применимости простейших и
уточненных приближенных теорий. Обзор исследований в этой области и
основные результаты можно найти, например, в работах [35, 182]. Мы здесь
остановимся на следующем вопросе, глубже вскрывающем особенности
динамического поведения тел конечных размеров.
В некотором смысле приближенную теорию можно построить, оставляя в
представлении вектора смещений лишь те члены, которые соответствуют
единственной распространяющейся моде в (1.12). Для удовлетворения
граничных условий на торце х = L в таком решении содержится лишь одна
постоянная. Если использовать ее для удовлетворения граничных условий по
нормальным напряжениям, оставляя касательные напряжения произвольными то
со-
1 Здесь и на последующих рисунках цифры на кривых соответствуют
порядковому номеру собственной частоты.
182
а
отношение для определения собственных частот примет вид
cos -- 0, (4.1)
где - единственный вещественный корень дисперсионного уравнения (3.26)
главы 4 для изгибных мод в слое. Определяемые из уравнения (4.1)
собственные частоты практически совпадают с точными значениями. Такое
решение, очевидно, предсказывает и простую структуру собственных форм
колебаний.
На рис. 65 представлено найденное по точному решению для прямоугольника с
величиной L = 13 распределение нормированных смещений иг (х, 0) для
первой (Q = 0,088), второй (Q = 0,170) и шестой (Q = 0,640) собственных
форм - кривые 1,2,6 соответственно1. Важно отметить, что кинематические и
динамические характеристики собственных форм не меняются при движении
вдоль каждой спектральной кривой в этой области частот.
Соотношение (4.1) следует из подхода, в котором граничные условия по
касательным напряжениям не удовлетворяются. Имея
1 Здесь и далее при изображении кинематических и силовых характеристик
форм используются нормированные (отнесенные к максимальным) величины. На
рисунках это указывается чертой над соответствующей величиной.
183
-1,0
4\ А
Г 7( 1' ч\
/ н м
У V 1
0 №L
Рис. 65.
0.50L
0.75L
Рис. 66.
точное решение, можно оценить относительный уровень касательных
напряжений для каждой собственной формы колебаний в рассматриваемом
диапазоне частот. Так, для L = 13 на второй собственной форме
Тшах/Отах"0,1. Отметим также, что малыми-при этом являются и нормальные
напряжения аг, поскольку Огтах/^ятах == 0,1. Такая характеристика формы
колебаний, как распределение по толщине в срединной плоскости х = 0
нормального напряжения ох, при этом, однако, обнаруживает некоторое
отклонение от линейного закона. На рис. 66 эта характеристика
представлена для первой и шестой форм колебаний при L = 13
(соответственно кривые 1 и 6).
Представленный на рис. 63 спектр собственных частот для продольных
колебаний прямоугольника имеет гораздо более сложную структуру. Здесь уже
нет даже качественного соответствия с предполагаемой обратно
пропорциональной зависимостью между собственной частотой и длиной
прямоугольника. В окрестности частоты Q = йе = 1,430 в спектре существуют
почти горизонтальные участки - плато. Они указывают на необычное явление
- при существенном изменении длины прямоугольника одна из собственных
частот не меняется.
Что касается области частот Q < йе, то здесь можно полностью повторить
сказанное выше для случая изгибных колебаний. Уравнение (4.1), где"!!
определяется из соотношения (3.1) главы 4, очень точно определяет
собственные частоты прямоугольника. Более того, из этого уравнения хорошо
определяются значения частот при Й > йе, однако частота Q = Йе,
соответствующая горизонтальному участку - плато, при этом пропускается.
На рис. 67 показано распределение по длине продольных нормированных
смещений их (х, 0) для прямоугольника L - 6 для первой (й = 0,264),
второй (й = 0,800) и третьей (й = 1,265) собственных форм колебаний
(соответственно кривые 1-3). Несмотря на то что в распределении смещений
довольно четко выделяется гармо-
184
ническая зависимость от длины, Ц> в силовых характеристиках большую роль
играют напряжения на площадках, параллельных о, 5
длинным сторонам. Для третьей собственной частоты (на рис. 67 кривая S)
огшах/ох;ш.Л яэ 0,6. п
Формы колебаний, соответствующие горизонтальным участкам в спектре
собственных частот, существенно отличаются ~0-5 от приведенных на рис.
67. Последние являются типичными представителями форм на нис- -1,о
падающих, гиперболических рис 67
участках зависимости Q от L ' при Q < Qe.
В заключение отметим следующее. Вели низкочастотную область колебаний
определить как диапазон частот, для которого наблюдается хотя бы
качественное согласование между точным и приближенным спектрами, то из
приведенных результатов получим, что в случае изгиба такой областью
действительно является область 0 < Q < 1. Для случая продольных колебаний
такой является лишь область 0 < Q < Qe.
§ 5. КРАЕВОЙ РЕЗОНАНС В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
