Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
(3.23).
хп = а0 (п> N), zm - -а,, (т > М),
(3.20)
(3.21)
Такие моды существуют на частотах
?2= (2р- 1)1^2, р=1, 2, ...
I • • •
(3.22)
и для прямоугольников с размерами
I (Р> Ф = 2р -~Т ' <7=1.2,...
(3.23)
12 1841
177
Согласование выражений (3.21) на границах х = L и z - 1 с общими
выражениями для смещений (2.13) свидетельствует о том, что возможное
решение однородной системы следует искать в виде
tZgQiL _
Х° ~ 2 sin QjL ' х" - °о .2 ,J2 •
+ (3.24)
_ 2т1 Я
*0 - о sin Q ' ** ао 2 , _2
2 sin Чт + Р5
При сворачивании бесконечных рядов в системе (2.10) с учетом
предполагаемого вида искомых неизвестных используем равенства
№b]
(? + pf) <? + Pi) (2Й - L 2P2 + Q2 2p2 + Щ
X IfT^T + (2pf + ?2|) (2^ + Q|) (' "Й") ' (3'25)
tlffl ?2^2 (^г) (9l) 1
X
(*& + 4?) (4m + 0j> (2t& - Q|)
m=ai
V 1 J________________________________ d /; Q2 \
* Q22-Q? ^ (2pf + Q§) (2p2 + й§) • *V /2 J '
202 + ^2 2?i + Q|
где
(3.26)
m=l 1m
С учетом этих соотношений находим, что однородная система
(2.10) удовлетворяется тождественно выражениями (3.24) при
одновременном выполнении двух равенств:
cos Jhk. = о, cos-^- = 0. (3.27)
/2 /2
Очевидно, что эти равенства выполнены при условиях (3.22) и (3.23).
Полученные точные решения (3.24) важны прежде всего с точки зрения оценки
возможной скорости стремления искомых величин в (2.10) к своим предельным
значениям. Конечно, из анализа (3.24) нельзя сделать заключение о
поведении неизвестных с ростом номера для любой частоты. Однако следующая
из них оценка
хп - ао + ' 2<п~---(3.28)
178
Таблица 6
mt п г(1> т г(2> гт *(1> *п *<2> хп
0 1 2 М-1, N-1 М, N -12,860 -1,802 -0,784 -1,011 -1 014 -12,850 -
1,800 -0,780 -0,989 -0,990 -2,765 0,830 -5,329 1,046 1,038 -2,764
0,830 -5,325 1,040 1,032
в определенной мере характеризует специфику поведения неизвестных в
(2.10) и находится в хорошем соответствии с числовыми данными для других
значений частоты.
Такие оценки скорости стремления неизвестных к асимптотическим значениям
важны при решении вопроса о выборе значений М и N, т. е. порядка конечной
системы при аппроксимации бесконечной системы (2.10). В каждом конкретном
случае значения величин М и N существенно зависят от частоты, на что, в
частности, указывают и соотношения (3.24). Обобщая результаты большого
объема проведенных вычислений, для выбора этих величин можно
рекомендовать соотношение
•0,1, (3.29)
которое, по существу, связывает значения геометрии области, верхнего
диапазона частот и порядок конечной системы.
Остановимся на оценке эффективности двух подходов к определению величины
а" при выбранном количестве неизвестных М и N. В табл. 6 приведены
значения неизвестных из системы (2.10) для случая возбуждения колебаний
равномерной нормальной нагруз-
кой = h на торцах х = ±L при следующих данных: v -
= 0,248, L = 3, М = 7, N = 18, Q - 1,705. Такое значение частоты близко к
четвертой собственной частоте. Далее все данные нормированы к /0.
Индексом (1) в табл. 6 отмечены значения неизвестных, полученные на
основе равенств (3.2) (при этом ао' = 1,0262), индексом (2) - значения
неизвестных, полученные с использованием второго подхода к определению
a", т. е. на основе формул (3.19) и (3.20) (при этом Оо2) = 0,9857).
Данные табл. 6 свидетельствуют о том, что найденные двумя различными
подходами значения первых неизвестных (п ^ N, т ^ М) и их предельные
значения (±а0) незначительно отличаются друг от друга. Относительная
разность в определении величины (ц составляет величину около 5%. Значения
неизвестных хп и гт отличаются еще меньше. Это означает, что величины
смещений
12*
179
Таблица 7
Таблица 8
г J-0(1> 2 о х 20 °х
0,0 1,0022 1,0002
0,2 1,0021 1,0002
0,4 1,0021 1,0002
0,6 1,0022 1,0002
0,8 1,0024 1,0009
1,0 0,9388 1,0007
1 </•*> 1 а(2) 1 а(3)
2 о х 20 °х 20 х
0,00 ' 0,977 0,989 0,993
0,40 0,978 0,990 0,994
0,60 ' 0,981 0,990 0,995
0,80 0,986 0,992 0,996
0,90 1,021 1,013 1,008
0,95 1,172 1,072 1,036
1,00 1,768 1,226 1,097
и напряжений внутри прямоугольника также не будут сильно различаться
между собой. О точности выполнения граничных условий можно судить по
данным табл. 7. Здесь -^Qax} соответствует
первому способу определения величины ав, а ох} - второму.
Различие в значениях напряжений в угловой точке свидетельствует в пользу
второго способа определения а0, более полно учитывающего характер
напряжений вблизи угла.
Конечно, степень точности при выполнении граничных условий зависит также
от степени близости частоты к собственной. В табл. 8
" I ,
показано распределение напряжении ох на границе х = L для
тех же исходных данных, но при ?2 = 1,430. Это значение частоты всего на
0,1% ниже третьей собственной. Величина а0 определялась по указанным выше
двум способам,- соответственно первый и второй столбцы для величин ох.
Из данных табл. 8 следует, что наиболее трудно добиться выполнения
граничных условий в угловой точке. При этом второй подход к определению
величины а0 дает значительные преимущества. Степень точности
