Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грибов В.Н. -> "Квантовая электродинамика" -> 31

Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.

Грибов В.Н. Квантовая электродинамика — НИЦ, 2001. — 288 c.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 60 >> Следующая

Для инвариантного потока, соответственно,
J = 4(pifci0 + fcipio) = 4fci(fcio + Рю) = 4fci>/s. (2.116)
2.6. Рассеяние фотона электроном (Комптон-эффект)
135
Введем величину dT:
dT = -5+((р - k2)2 - m2)5+(k22)
d4k2
(2тг)
2 '
С учетом (2.115), (2.116) можно написать
dT =
1
?+ ( 2\fs
\/S rri
-T~4i~"
4kiy/s
Интегрируя при помощи (5-функции по ко, получим
^+(^20 - ^1)
d4k2
dT =
8kis
s - то 2^5
2_k2^ d42
(2тг)*
Перейдем в (2.118) к сферическим координатам, т. е.
d3k2 = k2dk2dQ, = ^-dk2dfl.
Теперь можно проинтегрировать по dk2 :
1 к2 dQ 1 s - m2 dQ
dT =
16s ki (2тг)2 16ski 2y/s (27г)2 Мы подставили из ^-функции
7 s - то2
к2 = ^7Г'
но в с.ц.м. к\ = к2 = к, поэтому
dT =
1 dQ
165 (2тг)2'
Выразим теперь dQ через инвариантные переменные: t = - 2к2{1 - cos#); dt
= 2k2d(cos в). С другой стороны, dd = d(cosO)dcp = 27r<i(cos#), т. е.
7_ 2тг =
(2.117)
(2.118)
(2.119)
(2.120)
(2.121)
136
Глава 2. Частицы со спином 1/2
dT = - -.
16s 2к2 2тг
Или окончательно, подставляя к2 из (2.120),
_ 1 dt
dT =
1 бтг (m2 - s)2
(2.122)
Такова стандартная схема вычисления фазовых объемов.
Теперь уже можно написать выражение для сечения, но для удобства сначала
перепишем величину в квадратных скобках (2.109) в несколько ином виде -
раскрываем все выражения:
2 I о 2 I 4 2 I 2 I 2 _
s + 2m s + т - s - us-\-ms-\-mu =
= 2 m2(s - rri2) + 3m4 - su + sm2 + гшт2 =
= 2m2 (s - m2) + 3m4 + г/m2 - s(u - m2) =
= 4m4 + 2m2 (s - m2) - m2(m2 - u) - s(u - m2) =
= 4m4 - (u - m2)(s - rri2) + 2 m2(s - m2),
t. e.
(m2 - s)2
[4m4 - (u - m2)(s - rri2) + 2 m2(s - m2)\. (2.123)
Подставляя (2.123) и (2.110) в (2.114), получим окончательное выражение
для сечения рассеяния фотона на электроне:
dcr =
dt
2тг (m2 - s)2 2
m
m
(2.124)
m
+
m
u - rn
s - m
Это известная формула Клейна-Нишины для комптоновского сечения рассеяния.
Рассмотрим область малых энергий. Здесь удобнее пользоваться лабораторной
системой координат (система, где начальный электрон покоится). В этой
системе имеем
5 = (Pi + ^i)2 = (kw + rri)2 - k2 = m2 + 2mfcio.
2.6. Рассеяние фотона электроном (Комптон-эффект)
137
Обозначим fcio = со, &20 = тогда
5 = га2 + 2тио. (2.125)
Аналогично,
u = (pi - /С2)2 = m2 - 2 mco', (2.126)
а для t имеем
t = (fci - /С2)2 = -2k\k2 = -2 coco' + 2coco' cos# = - 2coco'(l - cos в).
С другой стороны,
t = (pi - P2)2 = 2m2 - 2mp2o = 2m(m - P20) = 2 m (со' - со),
т. e.
2a;a/(l - cos#) = 2m(uo - со'),
откуда следует
m ( - - - J = 1 - cos#. (2.127)
\co' со J
Мы получили формулу для комптоновского сдвига частоты.
Теперь посмотрим, как будут выглядеть отдельные члены (2.124)
в л.с.:
s - т2 2 со' и - т2 2 со' '
их сумма
т2 т2 т (1 1 \ 1 .
------о Н---------о = тг------------7 = - c°s0).
s - т2 и - т2 2 \и со') 2
Аналогично,
и - т2 ио'
dt = 2coco'd(cos в) - 2ио(1 - cos в)duo' =
= - - (1 - cos 0)dt + 2сосо'd(cos 0) , т
откуда
dt = 2co'2d(cos0).
138
Глава 2. Частицы со спином 1/2
Подставляя эти значения в (2.124), получим 4 / /\ 2
da =
СО
Атгтп2 V ш
СО
-----sin
4
d(cos6)
или, вводя dfl^ = 27r<i(cos#), запишем окончательный результат в виде
da =
47Г
со
2ш2 V
О/
(2.128)
где бЮ^,/ = 27гd(cosO).
При малых энергиях со <С га падающего фотона (томсоновский предел) cof ->
со и сечение стремится к постоянной величине (формула Рэлея-Томсона):
2m2
(2 - sin2 0)d?iu
(2.129)
Заметим, что е2/47гга = re, re = 2.8 • 10 13см - классическии радиус
электрона, т. е. при малых энергиях сечение
da ~ 7гг2.
Теперь выясним, что происходит при высоких энергиях s га2. Для этой цели
удобнее воспользоваться формулой (2.124).
1. Рассмотрим область \t\ <С 5, -u ~ s (s га2). В этом случае
2.6. Рассеяние фотона электроном (Комптон-эффект)
139
т. е. сечение с малой передачей импульса с ростом s довольно быстро
падает.
2. В области малых и (т. е. больших переданных импульсов t) сечение в
единичный телесный угол больше:
s4 dt
dn
Sir s m2 - и m2 '
(2.131)
и от s не зависит. Это означает, что, поскольку
и = (pi - k2)2 = -2р2(1 + cos#),
т. е. и ~ 0 соответствуют углы в ~ тг, при больших энергиях фотоны
рассеиваются преимущественно назад. Хотя, казалось бы, из-из точеч-ности
взаимодействия вероятность его должна падать с ростом угла и, кроме того,
с ростом энергии, поскольку сг^А2, а Л ^ 1/fc, т. е.
к2
Именно так и устроен вклад первой диаграммы.
Посмотрим теперь на вторую, которая как раз и ответственна за указанное
поведение сечения. Как объяснить, что фотоны в основном рассеиваются на
180°? Процесс, который описывается этой диаграммой, идет, в
действительности, при малой передаче импульса \и\ ~ ш2, - только в
результате процесса электрон превращается в фотон. Однако в
релятивистской теории индивидуальность частицы не столь важна; для
величины сечения важнее, что данный процесс может идти с меньшей
передачей импульса.
кг
Р2
Р1
к2
Также ясно, почему величина сечения в этом случае не падает с ростом
энергии, так как величина области, где может поглотиться фотон,
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 60 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed