Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
В области больших значений aS любую кривую (рис. 67) можно аппроксимировать графиком функции (1 + a'S)-1» « 1/a'S. Значение а' может быть как больше, так и меньше а. Например, для кривых 2 и 3 а' соответственно равно 8,45 а и
0,55 а.
Указанная зависимость к от S справедлива для всех без исключения веществ, у которых мощность поглощения W^n(S) стремится к конечному пределу при S-»-oo. Действительно, из условия
lim Wn (S) = lim/c(S)-S = const, (14.34)
следует
к (S) =
const
(14.35)
Такой же вывод для частного случая сделан в работе [439].
235
-Hi -г 0 2 еда®
Рис. 67. Зависимость коэффициента поглощения от aS, построенная на основании (14,32) (пунктирная кривая) и точного решения уравнений (14.16) и (14.33) при mc=0,072 т, nth—0,5 т, ?* = 1,52 эв, а = аг=0,875Х X1010 см-сек-1, г)' = 1: 1 — Т= 10 °К, Аwi—Eg = 10~3 эв\ 2 — Г = 10, Лщ—Ее = = 5-10-3; 3 — Т=80, Йо)!—?г = 10-2; 4— 7’=300°К, ^W!—?«= 10-2 эв
Модель параболических зон без правил отбора по волновому вектору. Если в модели параболических зон правила отбора по к не выполняются, то коэффициент поглощения и мощность люминесценции могут быть представлены в виде •(§ 6)
Ьсо+Яуо
к И = Г в" И gc {Ес) gv (?о) [fe (?в) _ fe (Ес)) dE ,
°< }
СО
(14.36)
Ью+ЯсО
Wa(co) = hco f A"(®)ge(E}gv(Ev)UE}U-fe(EJ)dEe, (14.37)
*со
где коэффициенты Л" (со) и В" (со) пропорциональны квадрату матричного перехода, отношение Л"(со)/?"(со) удовлетворяет равенству
(14.3), а размерности равны [А" (со)] = эрг-см3, [Б" (со)] = смв х X сек'1.
При отсутствии вырождения из (14.36) и (14.37) следуют приближенные равенства [133]:
к (со) = х(со){1 —[/j (со) + е(Ел-Ее> /2 (со)]}, (14.38)
ОО
I
r|hco
236
1 W„ (со) dco = е2Ъ /3. (14.39)
Здесь введены обозначения:
fuo—Eg
Ш=-^ГТ f B"(m)gc(E'c)gJE’v) expj--------------------------~)dE'c,
Vgy.(со) .) \ kT )
(14.40)
hco—Eg
/,(«,)= _^_ [ B"(a)gc(E'c)gv(E'v) x 0
X exp I Eg h*±3L-\dEc, (14.41)
kT
ОО Ь
^ f* 1 <F ____ fc/A\
hw—Eg
'3
j^exp^-J^j do, j* Л>)gc(E'c)gv(E'v)dE'c, (14.42)
h«-?g
K((1))=^i_ Г B"H gc(E'c)gv(E'v)dEc (14.43) 1
— предельный коэффициент поглощения.
Преобразовывая (14.39) с помощью (14.27), (14.38) и (14.39), вновь приходим к уравнению (14.30) с решением (14.32). В этом случае параметр нелинейности а равен
* К)
bcOj/з
(Ь-Zh , , (Zh-Ze\, , N
СХр I---2— / 1 (Wl) + еХр [ —2----j 2 (&)l)
(14.44)
Последние результаты получены без использования конкретного вида функций распределения и имеют общий характер. Для модели параболических зон справедливо (14.27), а плотности состояний выражаются формулами (3.8). Следовательно, при г| = const, Л"(со) и В"(со), не зависящих от Ес, имеем:
/3 = —V- Ь"7 (kT)3 Л" (со) (тА)3/2, (14.42а)
2лгг|
* К) = -XI— В" Ю “lb"5 (memh) (Ь®1 — Е )*, (14.43а) 4я
2В" (со,)
к К) = h К) = -л4,х К) Ь'5 (memh)' х
hco—Eg
+
О
| V ^(hco, — Eg — E'c) e F'c"iT dEc, (14.41a)
ехр
le-lh
mh \з/4
2 J \ m„
Подставляя последние формулы в (14.44), получим
а =
32 v2a2kT
cog (hco — Eg)2
mh \3/4
m„
mh
3/4
(14.45
, (14.46)
где
a?J *o = (Ь®1 — Eg)/kT. (14.47)
Модель гауссовых примесных зон. В легированных полупроводниках примесные зоны могут иметь гауссово распределение плотностей состояний (§ 2)
(gd(E) = gd®L р
0\2
(Ed-E^
y2d
. ёа iE) = Яв ехр
{Еа~Е?а)2
2
Уа
(14.48)
где yd и уа — ширина донорной и акцепторной зон; Ed и Е°а — центры зон. В этом случае коэффициент поглощения и мощность люминесценции будут выражаться интегралами [433]:
к И = ~ В", (со) g°d gl hco I exp
Vg J
Fh — Ea
X
exp
kT
exp
Yd / E'd-F,
IjL
Уа
kT
H = A" И gd go h® exp
X
exPl^) + ,
----30
—1
exp
E'a-F'e
kT
Ea
X
dEd, (14.49)
X
-J- 1
dEd. (14.50)
Здесь Ed — Ed — Ed, Ea = E°a — Ea = hco — E0 — Ed, E0 = Ed — — Ea, Fe = Fe — Ed, Fh = E°a—Fh—квазиуровни Ферми, отсчитываемые от центров соответствующих зон.
Предполагая, что нижняя зона полностью заполнена, а верхняя пуста, и проводя интегрирование в (14.49), находим предельный коэффициент поглощения:
238
к (со) _ _L_ В" (со) g°d g°a hco
VЛ YdYg
У yl + yl
ехр
(Е0 — hco)2
2 , 2 Yd + Y а
(14.51)
Согласно (14.51), полоса поглощения имеет гауссов контур, а ее
ширина определяется величиной У Vd + Ya •
При отсутствии вырождения и достаточно высоких температурах, когда выполняются неравенства
А«
Yd ^ Ш”
для этой модели также справедлива формула (14.32), а параметр нелинейности можно представить в виде (14,44), где вместо интегралов /г(сог), /2(coj) и /3 необходимо подставить выражения:
hcoj
И-
Еа — hco — Ed
kT
B"(®)gd(Ed) X
X ga(ha—E0— Ed) dEd = exp
m4t5 + vS) J
h (©)
¦,Ed) dEd = exp
Yd (E0 — bco — Ya/4*Г) kT (Yd + Yo)
(14.53)
^з = j exP ( ?°ferh0)) da> j Л' (со) gd (Ed) g„ (hw — E0
¦E’d)dE'd = ^~ ydyag°d gl A" (со,)exp <*, (14.54)
*
E0 VtfTI
Yd x Ya
где
a = I exp (— 2 ) dz, zt
2 kT
Если, кроме того, полупроводник компенсированный, то из уравнения электронейтральности следует
Fh = Fe +
2 2 Yd — Ya
4/гТ '
(14.55)
239
а
Подстановка (14.51) — (14.54) в (14.44) дает
(?„ — hcoi)2
ЗХ2Г|У2
0(0^ У vS 4- yl
