Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
К Кг) = -7- — «2) — (Nl — «!.)] =
vgA(o
1 —n^). (14.8)
t>gA<B
Вводя параметр нелинейности
____ (14.9)
1>(№Л (Л' А,) 4®
и обозначая предельное значение коэффициента поглощения через
и (ют) = —~ (14.10)
VgAa
из (14.8) получим для dl2 == 0 [433—435]
к(““)=—i—(14Л1) ,+TeS-'\/(т)
где 5 = VgUA®.
При aS <? 1 формула (14.11) практически совпадает с выражением
*к)"7тНг' (14•12,
228
Согласно (14.12), небольшие отклонения коэффициента поглощения от исходного значения, вызванные возбуждающим светом, равны
Ак (&т) = х (®т) — к (ют) = х (a>m)V oS. (14.13)
Как будет показано ниже, формула (14.11), а следовательно, и коренная зависимость Ак от S справедлива для всех моделей собственных и компенсированных прямозонных полупроводников и подтверждается на опыте [436—438] при квадратичном законе рекомбинации.
Если aS^>l, то (14.12) переходит в обычное выражение
(13.20), справедливое для атомных и молекулярных систем во всем интервале значений.
Сравнивая (13.20) и (14.12), легко видеть, что в полупроводниках уменьшение коэффициента поглощения под действием возбуждающего света происходит вначале с большей скоростью, чем в атомных и молекулярных системах. Согласно (14.12), при aS = 0,01 коэффициент поглощения уменьшается не на 1%, как в случае (13.20), а на 9%. Графики функций
(13.20), (14.11) и (14.12) приведены на рис. 63.
Модель параболических зои с правилом отбора по волновому вектору. Эта одна из основных моделей, применяемая для рассмотрения многих электрических и оптических явлении в полупроводниках (§ 6).
Пусть полупроводник возбуждается светом в узком спектральном интервале Лап, в окрестности частоты ©ь Под действием внешнего возбуждения электроны будут переходить из валентной зоны в зону проводимости, где их концентрация
к/х
Рис. 63. Графики функций (13.20), (14.11), (14.12) — кривые /, 2, 3
соответственно
229
Рис. 64. Модель параболических зон
станет больше, чем при термодинамическом равновесии. Одновременно происходит обратный процесс спонтанной, вынужденной и безызлучательной рекомбинации.
Так как время установления равновесия между носителями в пределах одной зоны порядка 10_и—10-12 сек, а время рекомбинации, как правило,
больше 10
-ю
сек, то распределение
электронов по уровням энергии зоны проводимости Ес и валентной зоны Еь будет характеризоваться функцией Ферми—Дирака
fe(Ec) =
1
1
exp
fe{E,) =
kT
1
exp
щ.
m„
(14.14)
exp
kT
+ 1 exp lh
mr
mh
и двумя квазиуровнями Ферми Fe и Fv=Fh для электронов и дырок соответственно. Здесь введены обозначения: х — (йсо— Eg)/kT, mr = rnemh (те - - mhyl — приведенная масса; те и mh — эффективные массы электрона и дырки; 'Q,, — (Fe — Ec0)jkT, th = = (?и0— Fh)jkT — приведенные квазиуровни Ферми (рис. 64).
При возбуждении межзонных переходов уравнение баланса и уравнение электронейтральности можно представить в виде [242, 433]
оо
—— к (a>j} 5 (©j) Аю = Г—-—Wn (со) da, (14.15)
.) г)йю
о
РУ2 (U - (mhlmf2FU2 (?„) = 0, (14.16)
где W:i (со) и г) — мощность и квантовый выход люминесценции; Fхг, (и) — интеграл Ферми—Дирака (3.18). Интегрирование в F1/2(Q и Fl/2 (Zh) проводится по А'с = (Ес — EJ/kT и х„ -----=(Ev0 —Ev)jkT соответственно.
230
Величины Ес и Е,, связаны между собой законами сохранения энергии и импульса и однозначно определяются частотой испускаемого света:
' тт
1(0 ¦
A). EV^EV0-
(Ь<о — ?„).
(14.17)
Коэффициент поглощения на произвольной частоте и мощность люминесценции (to) равны [242]
1
к (со) = к (со)
1
I f mT
ехр Еь--------------х
mh
~т
1
ехр
т.
т„
T~X-te +1
где
И = ^ И fe (Ес) П-fe (Ev)] Ьо>, х(<0) = — В _?(<») Ью,
(14.18)
(14.19)
(14.20)
А — —— (D f, В — | D !2 — интегральные коэффи-
ЗадЬ ЗЬ2 cvi
циенты Эйнштейна; — матричный элемент дипольного момента; it—магнитная проницаемость в системе СИ [105];
Ь2 / 2тг \3/2
g((o) =Ь g{E)
2л2 I tf
(Ь<о — Е)
1/2
(14.21)
—приведенная плотность состоянии в зонах.
С учетом (14.17) — (14.21) уравнение баланса (14.15) легко представить в виде
кК) «К)
5 =
(kTfWg
х
r\nV (h«1 ~Eg) xl/2dx
X
ехр
* —le + 1
exp
mh
1
(14.22)
При выводе (14.22) сделано предположение, что квантовый выход люминесценции т) в пределах полосы люминесценции не зависит от со. Величина со в формуле (14.15) заменена на =
— Egjb, и для краткости S(a>1)Ao)1 обозначено через S.
Уравнение электронейтральности решается в аналитическом виде только в двух случаях: а) Т — 0 и б) полупроводник не
231
вырожден, так что функции Ферми—Дирака можно заменить экспонентами.
В первом случае из (3.18) и (14.16) находим
те1е = mtrh, тк (Fe — FJ = rnh (Ev0 — Fh).
(14.23)
Выражение в квадратных скобках (14.18) равно — 1 для всех частот со с сои„в и равно 1 для со > <оинв, где соинв—частота инверсии, в которой коэффициент поглощения обращается в нуль. Приравнивая показатели экспонент, получим
&e + lh)kT. (14.24)
Знаменатель под интегралом в (14.22) равен единице для всех х<схана и обращается в бесконечность, если х > х1111в, где
ннв
т° у ___________ mh y
' fee — bh.-
mr
mT
Поэтому интеграл в (14.22) равен
