Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Как и предполагал Браве, 32 кристаллографических класса можно объединить в 7 сингоний кристаллов, причем каждой сингонии соответствует совокупность векторных групп, имеющих одну и ту же симметрию [13, 14]. Решеткам Браве соответствует 14 типов векторных групп. Группы, относящиеся к одной сингонии, могут быть переведены одна в другую путем непрерывной деформации. Связь между сингониями кристаллов и решетками Браве иллюстрируется табл. 2.
2. Зак. 312
17
Йз сложных кристаллографических решеток отметим два типа, распространенных среди полупроводниковых соединений.
1. Решетка типа алмаза. Этот тип решетки, кроме алмаза, имеет серое олово и такие распространенные полупроводники, кар кремний и германий. Ее можно представить состоящей из правильных тетраэдров, в вершинах и в центре которых расположены атомы. Такая структура получается, если две гранецентрированные решетки сдвинуты одна относительно другой вдоль объемной диагонали на 1/4 часть ее длины (рис. 2, а).
В кубической ячейке решетки типа алмаза 8 атомов расположены в вершинах, 6 атомов — на ее гранях и 4 атома — в ее объеме. Следовательно, на одну ячейку приходится 8-1/8+6-1/24-4 = 8 атомов. В то же время на элементарную ячейку в виде тетраэдра приходится два атома.
2. Решетка типа цинковой обманки ZnS. К этой кристаллической структуре относятся большинство полупроводниковых соединений типа AinBv; GaAs, GaP,. GaSb, InAs, InP, InSb. Расположение атомов такое же, как в решетке алмаза, отличие заключается в чередовании атомов двух сортов. Обе решетки служат примером неплотно упакованных структур.
Индексы Миллера. Для задания ориентации плоскостей и направлений в кристаллах, проходящих через узлы решетки,, широко используются индексы Миллера. Они вводятся следующим образом. Пусть кристалл находится в системе координат, начало которой расположено в точке 0, а оси параллельны ребрам кристалла. Ориентация любой плоскости в кристалле бу-
Рис. 2. Решетка типа алмаза: a — расположение атомов в пространстве, темные кружки указывают положение смещенной гранецентрированной решетки; б — проекция атомов на грань куба, числа указывают относительное положение атомов в направлении, перпендикулярном к плоскости
рисунка
А
В
А
В
18
Рис. 3. Индексы Миллера для направлений и плоскостей в кубическом кристалле
дет однозначно определена, если задать положения трех точек, лежащих на этой плоскости. В качестве таких точек выберем точки пересечения плоскости с осями координат А;, А2 и А3. Длину отрезков, отсекаемых плоскостью по осям х, у, г, можно выразить безразмерными числами sb s2 и s3, если выбрать в качестве единиц измерений длины базисных векторов au а2 и аз, так что Si = OA1/aь S2 = OA^a2, 5з = ОЛ3/а3. Отношение обратных величин 1/si : l/s2 : l/s3, выраженное в наименьших целых числах (hkl) и записанное в круглых скобках, и называется индексами Миллера, или символом данной плоскости.
Пусть, например, s 1 = 1 /2, s2 = 1, sb = 2. Тогда I /Si : 1 /«2:
: l/s3 = 2 : 1 : 1/2 = 4: 2 : 1. Плоскость характеризуется индексами (421). Если плоскость не пересекает какую-либо ось координат, то s — oo, а соответствующий индекс Миллера равен нулю. Если плоскость отсекает отрицательный отрезок оси, то над индексом Миллера ставится знак минус. Так, грани кубического кристалла имеют индексы: передняя—(010), задняя —' (010), правая — (100), левая — (100), верхняя — (001), нижняя—(001).
В силу симметрии кристалла в нем могут быть различно ориентированные, но физически эквивалентные плоскости, как например 6 граней куба. Совокупность таких плоскостей обозначается тремя индексами в фигурных скобках {hkl}.
При таком выборе системы координат и единиц измерения отрезков координаты любой грани кристалла относятся как целые числа (закон рациональных отношений).
Направление вектора в кристалле указывается тремя индексами в квадратных скобках [u, v, w], где и, v и w — три наименьших числа, отношение которых равно отношению длин проекций вектора на оси координат, выраженных в величинах аи а% и а3. Оси х, у и г имеют индексы [100], [010], [001]. В кубическом кристалле (рис. 3) направление [±и± ±v±w] перпендикулярно к плоскости (uvw). Совокупность эквивалентных направлений обозначается символом <uvw>.
Легко показать, что вектор обратной решетки bg=g’ibI4-Ч-ЯгЬг+ё'зЬз перпендикулярен к плоскости с индексами (hkl), 2* 19
если только gi '¦ g2'- ёъ — h : k : I. Для этой цели достаточно доказать, что вектор Ьш = АЬ1 + ?Ь2-НЬз, параллельный bgr перпендикулярен к двум непараллельным векторам, лежащим в плоскости (hkl). Поскольку концы векторов OAi = ai/А„ OA2 = a2/fe, ОА3 = а3/1 лежат на плоскости (hkl), то в качестве векторов на плоскости могут быть выбраны разности ОП1— ОА2 или ОА!—ОА3.
Скалярное произведение векторов равно
(ОА, - ОА2)Ъш = (~~j) (% + ^Ь2 + /Ь3) =
2я
= (а^ — а2Ь2) = — (аг [а2а3] — а2 f^]) = О,
У0
где учтены равенства (1.3) и независимость смешанного век-торно-скалярного произведения от круговой перестановки векторов. Аналогичным образом можно убедиться, что (ОАц— —ОА3)Ьш = 0. Следовательно, bg действительно перпендикулярен к плоскости (hkl). Необходимо отметить, что символ (hkl) относится не к одной плоскости, а к семейству параллельных плоскостей. Самая близкая к началу координат плоскость отсекает от базисов векторы ai/A, а2/& и аз//, следующие плоскости отсекают векторы 2ai/А, 2аг/&, 2а3/1 и т. д. Расстояние между соседними плоскостями семейства (hkl) равно
