Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Если имеется только один минимум, то
Y(r)= 2A>(k)4H>.*(r), (9.13)
k
где
А0 (к) = ...^—, (9-14)
0 V V ав <** + **)*
k = 1 /ав, ав = ей2//п* е2 = агт/т* — эффективный радиус Бора
(2.53), индекс 0 указывает на то, что функции Блоха относятся к самой нижней зоне проводимости.
Как видно из (9.14), удельный вес функций гро, fc(r) в вол_ новой функции донорного состояния с увеличением k быстро убывает. Поэтому вероятность прямых переходов донор — зона проводимости будет резко уменьшаться с увеличением зна-
,154
чения k и энергии кванта света при ha>E°d Этим объясняется падение поглощения на длинноволновом крае поглощения (рис. 34, а), связанного с фотоионизацией примеси, хотя плотность состояний в зоне проводимости растет с увеличением энергии Ес (§ 2). Ряд важных закономерностей, связанных с фотоионизацией мелких примесей, установлен в работах [230—237]. Квазиклассический расчет сечений многофононно-го захвата носителей на примесные центры в некондоновском приближении выполнен в работе [238].
Теория оптических переходов с участием глубоких центров начала развиваться только в последние годы. Рассчитаны волновые функции и сечения ионизации для нескольких простых моделей глубокого дефекта. Г. Луковский [239] для расчета сечения ионизации глубокого центра, в частности индия в кремнии, в качестве V' (г) использовал 6-образный потенциал. В этой модели сечение ионизации cr(ftw)=0 при йю, равном энергии ионизации Е\. С увеличением йи cr(ftw) быстро растет и достигает максимума, когда Ны = 2Еи а затем убывает как (й(о)-3/2 при hm^Eu Полученная закономерность согласуется с экспериментальными данными для примеси индия в кремнии с Ei = 0,15 эв. Для более мелких примесей в кремнии, таких, как В, AI, Ga, теоретические результаты значительно расходятся с экспериментальными, поскольку в теории не учитывается дальнодействующая часть кулоновского потенциала.
При расчете коэффициента захвата носителей заряда глубокими ловушками в гомеополярных полупроводниках В. Л. Бонч-Бруевич [240] обобщил модель Луковского и потенциальную энергию электрона в поле ловушки аппроксимировал выражением
V’(r) = -V06(r) + — - (9-15)
er
Вероятности захвата носителя дефектом и его эмиссии в зоны не являются независимыми параметрами. Так как при термодинамическом равновесии выполняется принцип детального равновесия, то отсюда следует, что указанные вероятности должны быть связаны достаточно общим соотношением.
Найдем эту связь для слабо легированного полупроводника и-типа. Статистика рекомбинации электронов и дырок в полупроводниках с небольшой концентрацией изолированных друг от друга дефектов наиболее полно исследована
В. Шокли и В. Т. Ридом [71, 86, 241]. Поэтому рекомбинацию в такой модели полупроводника называют рекомбинацией Шокли — Рида. Обозначим вероятности переходов буквой р с соответствующими индексами, указывающими направление
155
переж>да электрона: рса(Ес) —вероятность перехода с уровня Ес зоны проводимости на донор; pdc(Ec)—вероятность обратного перехода.
Обозначая концентрацию доноров через Nd, а вероятности заполнения электронами уровней зоны проводимости и донор-ных уровней Ed через fe(Ec) и fe{Ed), скорости захвата и эмиссии электрона дефектом можно представить в виде:
Red (Ес) = gc (Ec)fe (Ес) pcd (Ес) Nd[l~fe (Ed)h (9.16)
Rdc (Ec) = ?c (?e) [ 1 -fe (?c)] Pdc (Ec) Ndfe (Ed). (9.17)
Здесь по-прежнему gc(Ec) —плотность состояний в зоне проводимости. При термодинамическом равновесии fe(Ec) и fe(Ed) равны значениям функции Ферми — Дирака для энергий Ес и Ed, а вероятность того, что состояние с энергией Е свободно, можно представить в виде
1 - и (?) = fe (Е) ехр ) • (9.18)
Согласно принципу детального равновесия, скорости любого прямого и обратного процесса равны. Поэтому из равенства Rcd(Ec) =Rdc(Ec) с учетом (9.18) находим
pdc(?с) = pcd(?с)ехр ^----E'~E~d j . (9.19)
Легко убедиться, что вероятность эмиссии дырки с акцепторного уровня Еа на уровень ?|; зоны проводимости pav(Ev) связана с вероятностью захвата дырки акцептором pva(Ev) аналогичным соотношением
РаЛЕ,) = Р,а(Е)&Р (-------E^V-) ¦ (9-20>
Хотя формулы (9.19) и (9.20) строго доказаны для термодинамического равновесия, предполагается, что они справедливы и при отсутствии равновесия, когда скорости прямых и обратных переходов не равны.
Чтобы получить суммарные значения скоростей захвата или эмиссии электронов донорными центрами, необходимо проинтегрировать (9.16) и (9.17) по всем значениям энергии зоны проводимости. Если предположить при этом, что ры(Ес) не зависит от ?с, то полные скорости Red и Rdc будут выражаться простыми формулами:
Red = npcd (Nd — nd), (9.16a)
Rdc = nd-dc, (9.17a)
156
dc = j go (Ec) [1 -fe (Ec)] pcd (Ec) e kT dEc (9.21)
константа диссоциации доноров.
При термодинамическом равновесии
Ed~F'
d° = pcdtie kT = pcd n
и полные скорости захвата и эмиссии равны. Хотя число свободных состояний в зоне проводимости, по которым производится интегрирование, может быть на много порядков больше п и Ndt константа диссоциации не достигает слишком больших значений из-за наличия экспоненциального множителя под знаком интеграла (9.21). Величина dc равна вероятности диссоциации донора с выбросом электрона на любой из уровней зоны проводимости. Аналогично вводится понятие диссоциации акцептора.
