Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
dt
где rtw — вероятность ударной ионизации экситонов в электрическом поле, параметр w зависит от величины приложенного электрического поля; N, и щ — концентрация примеси и число электронов на примесных уровнях; С{ и / — суммарные (оптические и неоптические) вероятности переходов зона проводимости — примесь и примесь — валентная зона.
К системе уравнений (8.43) необходимо добавить уравнение электронейтральности
для полупроводников и-типа.
С помощью (8.43) — (8.45) качественно удается описать ряд наблюдаемых закономерностей в экситонной фотолюминесценции. Аналогичные уравнения, но с пренебрежением некоторыми вероятностями переходов использовались в [207, 209].
Кинетические уравнения сильно усложняются для полупроводников, в которых имеются донорные и акцепторные примеси разных сортов и кроме свободных экситонов образуются связанные экситоны различных типов. В таких случаях, исходя из конкретной постановки задачи, необходимо с самого начала приравнять нулю вероятности процессов, которыми можно хотя бы в первом приближении пренебречь. Это значительно упрощает все расчеты. Примеры такого подхода можно найти в [210,212].
С помощью кинетических уравнений было показано [209], что интенсивность фотолюминесценции связанного экситона выражается формулой
/0 — значение интенсивности фотолюминесценции при Т = 0. Хотя формула (8.46) носит приближенный характер, она хорошо описывает наблюдаемую температурную зависимость интенсивности фотолюминесценции экситона в GaP, связанного на изоэлектронной ловушке. Из сопоставления теоретической и экспериментальной кривых I(Т) бЬ1ла определена энергия связи экситона на ловушке ?°э = 0,021 эв.
Правило Урбаха. Согласно зонной теории, в собственных полупроводниках должны быть резкие границы между разре-
р = п + пг
(8.44)
если полупроводник р-типа, и
P = n-f-ni — Ni
(8.45)
1 =
1 + аТ3/2 ехр (— ElikT)
(8.46)
где
(8.47)
144
шенными и запрещенными зонами энергии. Поэтому коэффициенты поглощения, например, при прямых разрешенных (6.30) и прямых запрещенных (6.31) переходах равны нулю для всех энергий квантов света ha^Eg. На опыте, однако, никогда не наблюдаются такие резкие границы в спектрах поглощения. В 1953 г. Ф. Урбах [213] установил, что в щелочногалоидных кристаллах на краю поглощения коэффициент поглощения не обращается в нуль, а убывает по экспоненциальному закону:
а (Ь ш0 — h ш)
к (со) = к0 ехр
kT
(8.48)
где ко, (Оо и а — энергетические параметры, характеризующие кристалл. Зависимость 1пк(со) от йсо выражается на графике прямой линией, тангенс угла наклона которой равен o/kT.
В дальнейшем оказалось, что такая форма края поглощения, получившая название правила Урбаха, наблюдается и в других кристаллах при различных механизмах оптических переходов и в .частности при экситонном механизме поглощения света.
В работах [214—216] формула (8.48) получена теоретически в предположении, что край полосы поглощения формируется свободными экситонами, взаимодействующими с оптическими фононами с энергией haq. Для параметра а получено аналитическое выражение
2kT heо0 /0
<? = Yo—(8.49) h(Dq 2 kT
где его — независящий от температуры параметр, обратно пропорциональный константе экситон-фононного взаимодействия. На основании детального исследования края поглощения в широком интервале температур и коэффициентов поглощения показана справедливость правила Урбаха для полупроводников типа AnBlV [217—219] и исследован параметр а в зависимости от радиуса экситона, степени ионности и других характеристик кристалла.
Формула Урбаха получается также при рассмотрении электрон-фононного взаимодействия [220].
В сильно легированных полупроводниках экситоны не образуются из-за сильного экранирования' кулоновского взаимодействия. Однако экспоненциальное убывание коэффициента поглощения наблюдается и в этом случае. Для теоретического объяснения такой закономерности привлекается механизм образования хвостов плотности состояний в зоне проводимости и валентной зоне (§ 2) [57, 64, 221]. Легко показать с помощью простых расчетов, что появление экспоненциаль-
10. Зак. 312
145
ного хвоста плотности состояний в зоне проводимости влечет
за собой образование размытого края поглощения, который описывается формулой типа (8.48).
Пусть плотности состояний на хвосте зоны проводимости и в валентной зоне выражаются формулами (см. (3.8)):
где обычно параметр E0<^Egt а Ес0 лежит в пределах хвоста зоны проводимости. Предположим, что валентная зона полностью заполнена, зона проводимости пуста, а вероятности оптических переходов с участием хвоста плотности состояний не зависят от со и волнового вектора к. Тогда коэффициент поглощения будет равен
Параметр В в (8.51) не зависит от ш, а энергии исходного Е„ к конечного Ес состояний при оптических переходах, соответствующих поглощению кванта света с энергией /ко, связаны соотношением Ес — Е„ = /ко. Учитывая эту связь и вводя новую переменную интегрирования
Так как подынтегральное выражение в (8.52) быстро убывает с ростом х, a ta» Е0, то верхний предел интегрирования можно расширить до оо. Тогда получим
