Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грибковский В.П. -> "Теория поглощения и испускания света в полупроводниках" -> 5

Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.

Грибковский В.П. Теория поглощения и испускания света в полупроводниках — М.: Наука и техника , 1975. — 464 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapoglosheniyaiispuskaniya1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 176 >> Следующая

Очевидно, при перемещении кристалла на любой из векторов ап он также будет совмещаться сам с собой. Поэтому вектор а„ называется вектором трансляции.
Параллелепипед, построенный на базисных векторах, имеет объем, равный ?2o=(ai[a2, а3]), и называется элементарной ячейкой. Перемещая (транслируя) элементарую ячейку в направлениях аг-, можно заполнить все пространство. В этом и заключается трансляционная симметрия кристаллов.
Решетка, определенная формулой (1.1), является чисто геометрическим построением, ее узлами служат математические точки. Каждому узлу соответствует один или целая группа атомов. Из трансляционной симметрии кристалла следует, что если около начала координат расположены какие-то атомы, то точно такие же атомы находятся около любого другого узла решетки.
Выбор решетки неоднозначен. Для одного и того же кристалла можно выбрать различными способами тройку базисных векторов а*. Пусть, например, атомы в кристалле располагаются в вершинах и в центре куба. Тогда, помещая начало координат в вершине куба, векторы а* молено выбрать вдоль осей х, у, z. Элементарная ячейка будет иметь форму куба (рис. 1 ,а). Если же начало координат поместить в центре куба, а векторы ai направить к его вершинам, то элементарная ячейка будет иметь форму ромбоэдрического параллелепипеда. Более того, элементарная ячейка может быть построена не на векторах а*, а совершенно иным способом, в частности в виде ячейки Вигнера — Зейтца.
Соединим центр куба с его вершинами 8 отрезками. Через середину каждого отрезка проведем перпендикулярные к ним плоскости. Восемь таких плоскостей и ограничивают пространственную фигуру, называемую элементарной ячейкой Вигнера— Зейтца (рис. 1, в). Все пространство может быть заполнено такими ячейками, причем они обладают теми же элементами симметрии, что и куб. Ячейка Вигнера — Зейтца применяется для построения прямых решеток, однако она приобретает исключительно важное значение в пространстве обратной решетки, где она совпадает по существу с зоной Бриллюэна.
Как будет видно из дальнейшего, волновые функции, описывающие движение электрона в кристалле, отражают не
11
Рис. 1.'Элементарные ячейки для кубического кристалла с одним атомом в центре куба: а — кубическая; б — ромбоэдрическая; в — ячейка, Виг-
иера—Зейтца
только симметрию прямой решетки, но и свойства обратной решетки. Именно в пространстве обратной решетки задается и исследуется волновой вектор электрона к. Поэтому изучение обратной решетки служит отправной точкой в теории твердого тела.
Вектор трансляции bg обратной решетки равен
be = g1b1 + gA + gJaa, (1.2)
где gt — целые числа; Ь; — базисные векторы обратной решетки. Векторы Ь; имеют размерность обратной длины и связаны с базисными векторами прямой решетки соотношениями
, 2л 2л
bi — —— ^2 —
[a*aj, b3

[а^],
(1.3)
где Q0 — по-прежнему объем элементарной ячейки прямой решетки, равный (ах [а2а3]). С помощью (1.3) легко убедиться, что аг и by удовлетворяют соотношению
(а,Ь,) = 2лб.
(1.4)
Здесь бу — символ Кронекера, равный 1, если i — j, и нулю при i Ф /.
12
Параллелепипед, построенный на векторах Ьг, образует элементарную ячейку обратной решетки. Ее объем равен (bi[ЬяЬз]) — 8n3/Qo, т. е. обратно пропорционален объему элементарной ячейки прямой решетки.
Согласно (1.3), любой из трех базисных векторов обратной решетки с индексом / перпендикулярен к двум основным векторам прямой решетки с индексами, отличными от Еслиаг образуют тройку взаимно перпендикулярных векторов, то Ьг-тоже будут взаимно - перпендикулярны, причем billa» и bi = = 2л/аг-. В случае кубической решетки ai = a2 = a3 = a, Ь\ = Ьг= = 63 = 2л/а.
Если же элементарная ячейка прямой решетки является параллелепипедом произвольной формы, то для нахождения обратной решетки удобно векторы а г рассматривать в некоторой прямоугольной системе координат. Тогда 9 проекций векторов щх, aiy, а!г можно представить в виде матрицы А, а
числа т, п2 и «з — как вектор-столбец п. Положение узлов
решетки будет определяться вектором трансляции, равным произведению матрицы на вектор [10]
/а1х «2* я3х \/”Л
ап = Ап = «1V а%у а3у )( «2 . (1.5)
\а1г а2г a2z J\nJ
Вводя аналогичным образом матрицу В обратной решетки, имеем
bg = gB = I g2 jj b2x biy b2z ). (1.6)
\8яАК lhy b3z J
На основании (1.4) приходим к равенству
BA — 2лЕ, (1.7)
где Е — единичная матрица, все элементы которой равны 1. Для нахождения компонент матрицы В равенство (1.7) можно представить в виде системы 9 уравнений
bix®jx ^iy^jy ^iz®jz = 3. 0-$)
Матрицы А и В полностью определяют прямую и обратную решетки. В случае простой кубической решетки они имеют вид:
/а 0 0\ /1/а 0 0 4
Л=(0 а О), ? = 2л(0 1/а 0 . (1.9)
\0 0 а) \0 0 1/а )
13
Сингонии кристаллов
Таблица 1
Сингония Угол между осями Масштаб вектора Обозначение
Триклинная а12 ^ а23 ^ «31 ^2 ^ а3 tr
Моноклинная а12 ^ а23 ” «31 ™ 90 °1 ^ а2 ” а3 т
Ромбическая (или ортогональная) «12 = «23 = «31 =-- 90° fl^l =т^ d-2 =#= (Зз Ог
Гексагональная а12 = 120°, а23 = а31 = 90° а1 ~ а1 ^ аз h
Ромбоэдрическэя (или тригональ-ная) а12 “ а23 " а31 ^ а1 = а 2 ~ rh
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed