Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
При вычислении матричных элементов операторов возмущения используются волновые функции, описывающие исходное и конечное состояния электронов и дефектов решетки, например фононов.
Закон сохранения энергии при непрямых переходах принимает вид
hco = Ес —Ev + Eq = Eg -f E'c + E'v ± Eq, (6.32)
где Eq — энергия фонона; EC=EC — Ec0, EV=EV0—Ev—энергии, отсчитываемые соответственно от дна зоны проводимости и потолка валентной зоны. Верхний знак в (6.32) соответствует испусканию фонона, нижний — поглощению.
Минимальная частота света, который может поглощаться, определяется условием hco = Е„ — Eq. При заданном значении hco энергия Ес изменяется от 0 до Есmax = hco — Е„ Eq. Так как плотности состояний в зонах равны gc (Ес) = ас VЕс, gv (Еи) = = aBVK=av'i hto — Eg±Eq— E'c = acVE'cmsx — E'c, то число разрешенных пар переходов в спектральном интервале dco будет выражаться интегралом
Е шах с
N (со) dco = acavh J \{Естзх — E'c) Ес\ч2 dE'c =
о
= {E'cmaxf = ¦ nac°°h (hco - Eg + Eqf.
Таким образом, коэффициент поглощения для непрямых переходов с поглощением фонона будет пропорционален (hco — Eg
94
+ ЕдУ. Кроме того, он должен быть пропорциональным числу самих фононов*) с энергией Ед, которое равно:
~ eEq/kT_______| • (6.33)
Учитывая далее, что вероятности переходов с поглощением фонона относятся к вероятности перехода с испусканием фо-нона как Nq/(l-\-Nq), коэффициент поглощения можно представить в виде
А'
/с(м) = -2-
(hto — Eg -
Eqf
(hrn —Eg — Eqf
— 1
1 — exp (—EJkT)
. (6.34)
Последняя формула справедлива для hea^.Eg-\-Eq. Если Eg— ¦—< fuo < .Eg + Eq, то второе слагаемое в (6.34) следует опустить. Для hco < Eg — Eq, к (со) = 0. При наличии различных
типов колебаний (акустические и оптические продольные и попе-
речные ветви) коэффициент поглощения будет определяться суммой слагаемых типа (6.34). Для непрямых разрешенных и запрещенных переходов в [108] получено:
кр (со) (hw — Eg)2, (6.35)
Кд (со) ~ (hco — Eg)3. (6.36)
На опыте коэффициент поглощения даже чистых полупроводников не равен нулю на границе, соответствующей ширине запрещенной зоны, а монотонно уменьшается. Причины этого явления будут рассмотрены в § 8.
Скорость суммарной спонтанной рекомбинации. Если известна скорость рекомбинации в расчете на единичный интервал энергии испускаемых фотонов гсп{Е), то суммарная ско-, рость спонтанной рекомбинации будет выражаться интег-
1 ралом
I 00
; ЯСп = j гсп (Е) dE. (6.37)
о
Рассмотрим несколько частных случаев, когда интеграл
(6.37) может быть выражен через концентрации электронов и дырок. Пусть правило отбора по волновому вектору при оптических переходах не выполняется, а матричный элемент для
*> Фоионы так же, как и фотоны, будучи бозонами, подчиняются статистике Бозе—Эйнштейна.
95
всех переходов одинаков. Тогда подставляя (6.23) в (6.37), будем иметь
Ясп = В j dE j gc (E'c) gv (E-Eg- E'c) fe (E'c)
X
E=Eg ?'=0 С
X [ 1 - fe(E - Eg - E'c)] dEc, (6.38)
где E — Eg — E’c = E'v\ В—константа рекомбинации. Переходя от интегрирования по ? к интегрированию по Е0, получим
ОО ОО
Ron j gc{Ec)fe{Ec)dEc j g0(E'v)[l— fe(E'0)]dE'v = Впр.
E =0 E —0
с v
(6.39)
Здесь n — концентрация электронов в зоне проводимости; р — концентрация дырок в валентной зоне, определяемые формулами (3.9) и (3.10). Интегрирование по Е[, начинается от точки Ео—0, поскольку переходы в состояния с Е’а—Е00 — Еа <0 отсутствуют (запрещенная зона).
Предположим теперь, что правило отбора по волновому вектору строго соблюдается, а вырождение носителей в зоне проводимости и валентной зоне отсутствует. Следовательно, гсп(?) дается формулой (6.21), в которой функции Ферми—-Дирака можно заменить экспонентами
fei.Ec) =ехр (п^). 1-/Ж) = ехр
Здесь введены обозначения: F'c = Fc — Ес0\ F’B = Е0о — Fo.
Интеграл по энергии сводится к Г-функциям от 3/2 и 5/2, равным Г (3/2) = V л /2, Г (5/2) = 3]/л /4:
/ 2тг \3/2 р' р' Г
^ J e^TTJL\ E(E~Eg)l/2e “ X
2ne2 j М |2 j' 2mr |3/2 р'с jt2m2h2c3
?=?g
пе2|М|2 / 2mrkT \3/2 / ЗйГ
Х dE = mW Г яИ2‘ ) М1 _|‘ ЖГ* Х
X ехр [ —— j = Bn/?, (6.40)
где
В =
8ne21М I*
mW 96
2jth2
(тс + mv) kT
3/2 Eg{ 1 + -^- I. (6.41)
Если электроны в зоне проводимости невырождены, так что fе (Ес) = ехр (Fc — Ес), и для всех частот со нижние состояния в валентной зоне при прямых переходах свободны fe (Ev) = 0, то интегрирование (6.21) по Е = hco с учетом (3.9), (6.25) и (6.27) дает
Р 2пе21М |
#СП = J fcn(?)dE
2ne21M I2 I 2mT \3/2
kT J E(E-Eg)^x
~^r(E-Eg)kT 2ne21M I2
dE =
2m, \з/2
h2
^c~^cO
о
(feT)3/2 x
X j* (?g+ fcT'JC)
8ne21M | m2h2c2
X
X
1
3 mc kT 2 mr Ea
n.
(6.42)
Хотя предположения, сделанные при выводе (6.39), (6.40) и
(6.42), выполняются не строго, эти формулы широко используются для приближенных оценок суммарной скорости рекомбинации.
§ 7. ЛЮМИНЕСЦЕНЦИЯ
Определение люминесценции Вавилова — Видемана. Люминесценция, известная человеку с незапамятных времен как холодное свечение гниющего дерева, насекомых, водорослей, болотного газа, систематически исследуется с середины прошлого века. В 1852 г. Дж. Стокс сформулировал исторически первый закон люминесценции (правило Стокса), согласно которому длина волны люминесценции больше длины волны возбуждающего света. В это же время Э. Беккерель положил начало экспериментальному изучению спектра, эффективности и длительности холодного свечения. Термин «люминесценция» введен в литературу в 1889 г. Е. Видеманом, который дал первое, хотя и не совсем точное, определение этого свечения как превышения над фоном теплового испускания.
