Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Различают два типа межзонных оптических переходов: прямые и непрямые. Прямой переход совершается либо спонтанно, либо под действием электромагнитного поля. Импульс электрона при этом остается практически неизменным. В случае непрямого перехода импульс электрона изменяется. Электрон взаимодействует не только с фотонами, но и с дефектами решетки (фононами, примесными атомами, дислокациями и др.).
Хотя вероятности непрямых переходов, как правило, на 2—
3 порядка меньше вероятностей прямых переходов, удельный вес этих процессов в сильной степени зависит от строения энергетических зон. При этом следует отдельно рассматривать два возможных варианта: а) минимум зоны проводимости и максимум валентной зоны находятся в одной точке зоны Брил-люэна, т. е. kmin = k'max, б) указанные экстремумы расположены в различных точках зоны Бриллюэна kmin^k'max (рис. 19).
Рассмотрим вначале первый случай. Учитывая, что произведение гиндЬсо равно мощности поглощения 1^П0ГЛ (Е), для коэффициента поглощения находим [87]
= —17^ *_(*) = г-ил(^—
Vgu (Ь) Vgu (Е)
W?), (6-24>
n2E2N (Е)
91
Рис. 19. Прямые и непрямые оптические переходы в полупроводниках
где и (Е) = р (Е) N (Е) frco/V — плотность лучистой энергии в единице объема*); ?=h(o.
Так как электронные состояния в валентной зоне и зоне проводимости описываются функциями Блоха (2.37), то матричный элемент (6.15) в дипольном приближении можно представить в виде [107]
|Ли|2 = |еирас|26(к—к' + х), (6.25)
причем| pvtf ----1 < uv (г) | ihy | ис (г) > |2.
В выражение (6.25) введена б-функция, поскольку при всех зна-
—>
чениях к — к'+ я. существенно отличных от нуля, ехр [г (к —
—у
— к' -|- и) г] будет знакопеременной функцией, а | Мос |2 = 0. Волновые векторы электронов по порядку величины равны постоянной обратной решетки и значительно превосходят х=2л/к. По-
этому б (к—к' \-у.) можно заменить на б (к —к'). Следовательно, при прямых оптических переходах импульс электрона остается неизменным.
Если предположить для простоты, что экстремальные точки зон характеризуются изотропными эффективными массами т-с и mv, причем kmin=k'max=0, тогда зависимость энергии от волнового вектора будет выражаться формулами:
Ес (k) = ЕСо + = Ес0 + ^ (hco - Е„),
2 тс тс
(6.26)
г-i ... „ h2&2 „ тТ „ _ ч
Ev (k) = Ev0 — —— = ?-------т- (h© — Е ).
2 mv mc
¦*> Формула (6.24) может быть получена также, если исходить из дифференциального закона Бугера, согласно которому
АШ) = — к (Е) N (Е) или dN^'--= —vsK (E)N(E) (*) -
поскольку dx=vgdt. Действительно, умножая (*) на р (Е) и приравнивая полученное произведение величине г„ня(Е) V, приходим к (6.24).
92
Здесь Есо и Ev0 — дно зоны проводимости и потолок валентной зоны соответственно, Eg=Eco — Ev0— ширина запрещенной зоны, Ес (k) — Ev (k) = hco, mr = mc m,. (mc \- m,,)'1-приведенная масса,
/ 2ш \
= (ho, -Eg)W. (6.27)
С помощью (6.26) на основании (2.20) находим приведенную плотность состояний в расчете на единицу объема:
k2 (dE тг .
§(Е) ~ г ~тг = =
\ dk ) я2Ь2
1 / 2тг А3/2
2я2 I h2
(hco — Еу/2. (6.28)
Как уже отмечалось, при выполнении правил отбора по волновому вектору гинд дается выражением (6.20). Подставляя туда значение g(E) из (6.28), полагая fe(Ev) = 1, fe(Ec) = 0 и используя (6.24), приходим к следующей формуле для коэффициента поглощения при прямых переходах
9 р2 / 9тт7 \3/2
«И = -Аг- |еиРм|2(Ьсо-?„)>/2. (6.29)
В общем случае рст зависит от частоты со. Поэтому чтобы найти форму края полосы поглощения, необходимо эту зависимость выразить в явном виде. С этой целью разложим матричный элемент ехрС?) в ряд по степеням к около точки к = 0:
ехрсо = еиро, (0) f k
д
к=0
и будем подставлять в (6.29) только первый не равный нулю член ряда. При этом может оказаться, что либо еурст (0) / 0, либо еирга (0) — 0. В первом случае переходы называются разрешенными, во втором — запрещенными. Отсюда с учетом (6.27) находим коэффициенты поглощения для разрешенных /ср (со) и запрещенных переходов к., (со) [107, 108]:
2р2 / 2т \3/2
Кр И = ---------1— ~rf~ I е*Р“ (°)|а <hc0 — ЕеУ/2’ (6-30)
nm2cco \ h2 /
(hoj —? )3/2. (6.31)
2е2 / 2тТ -5/2 I д
Кз И - :---------1— —г I 1Г е*р'
nm2co) \ h / 1 ok
k=0
Как легко видеть, частотные зависимости /ср (со) и к3 (со) существенно различны и это полностью определяется симметрией волновых функций ис (к) и uv (к) в точке к —0.
93
Если максимум энергии валентной зоны смещен в к-прост-ранстве относительно минимума зоны проводимости, то в такой системе тоже возможны прямые переходы, так же как возможны непрямые переходы в системах с kmin=k'max- Однако в случае кщш^к'тах прямые переходы уже не будут определять границу полосы поглощения. Квантовомеханическая теория поглощения с участием непрямых переходов развита в работах [108, 109]. Здесь мы ограничимся качественным рассмотрением вопроса. Дополнительные сведения можно найти в [107, 110, 111].
Оператор взаимодействия электронов с дефектами решетки можно рассматривать как оператор возмущения Vd- Тогда в рамках теории возмущения вероятность перехода электрона из одного состояния в другое будет определяться двумя операторами возмущения Vd и V(r).
