Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
1
+ "ofVnTT + - 21 *o n
___________________
¦*10
m
1 + °(mi) (wij -* -0)%|
'Щ
1
Сравнивая (6.32)-(6.35) с формулами (6.36)-(6.39), получим, что
разложение (6.34) для функции Ак1(г,р, т) спра-|
ведливо и при cRт -* | г - р | - 0, ?^(г + р) > т.
Таким образом, функцию Ак1(г,р,т) в окрестности множества cRr = I г -
р I при г * р * 0 можно представить так:
A*l(r*Р' т) = р^А8к(г'р' т) + Яо + А1 кН[т}к(г + Я) " т Д + о(1)
(6.40)
(сят- lr-pl), А1к _ =0.
т=Пк(г+р)
При остальных значениях т, г и р функция Ак1(г, р, г) непрерывна.
В случае r-р выделение особенностей функции Ак1(г,р,х) при mj -* 0 (г
-* +0) требует специального анализа. Из формул | (6.26) найдем
m =
4Г2 - с-т
2,2
4Г2
и"! =
"2_2 СрТ р-'
4r!zi
4Г2 '
41
4г
г. (6.41)
Так как точка т = г = р = 0 исключается из рассмотрения, то пк> + 0 и для
Ак1(г,р,т) справедливо первое из равенств
(6.34). Однако последующие разложения несправедливы, так как
при т-*+0 пк0 = 1, "Л10 = 0 и, кроме того, sin = 1
("" = */2).
Поэтому аналогично формулам (6.38) перейдем к новой амплитуде для
функции G(6>^, /я):
Лк1(г,р,т) =
m
|G(^, m) +
m1tg2dktg2ek= I, sinfl^
\lm~nk _sin^*0 /яя^ VwT '
- sin fl, sin#, - T wij к к tfij m
'kO ~ vk
m
m
(6.42)
* 2 2' "*1 2 2'
m~nk = nki- mi = 4i sin^*o > sin\> = 1 ~ cWk'
_ Аналогично формулам (6.35) для составляющих функции Afci(r' г> т)
найдем разложения:
F(dk, m) = Р{ЬЮ, 1) + о(1),
Е(рк, т) = Еф/д, 1) + l)wij + oimy),
т
т,
= sin A. sin в.
s Sin^v7~ 1 д/ ПкПк[ " = ^
~ /"j k' mx m - nk mjSinfl^'
= V i- -= 1- r~i- + 0(mj) (и", - +0), (6.43) -".""л
2cos fl
cos *9Ю 1 + sin fl
*0
*<*">• 1) = ln COS ' COS^fc0 _ ^kCR' E@kO' !) -
sin V
ae
dm
1 hE
m=I
= cosflA0,
sin2#.
И)
dm 2m2 cos9ksinbk dm
kO"
Подставляя (6.43) в (6.42), с учетом обозначений (6.34), получим
Г 1 +Vi-.fr,2
Л.,(г, г, т)
CRr>k
+ 0(1) (т -* +0). (6.44)
297
Суммируя все результаты этого параграфа, окончательно запишем ядро
А(г,р,т) интегрального представления (6.19) в следующем виде:
2
Л(Л Р, г) = 2 (AJr, р, т) + Лfa(r, /о, т)Я[(г + /э) -*=1
- V]}Я(т - "^1 г-
/>[,),
AJr,p,r) = -
1 - 9j4Af(r, Р, т) (г *р,гр* 0),
яс*г
У (r = p,rp *0),
(6.45)
rpVi - ^4 (г2 +р2- с2т2) 3/2 (тр = 0), ЛЬ-
(Г>Р> t) = -^|>Ли(г,р, т) + a^Vl - r}2kc2Rgk(r,p, т)Я(т)] ,
8к(г,р,х) =
4^ [Ли(г, я, г) + ^- + ^ In I т, I +
iln(4V)
(V * °)>
0 (Гр = 0).
Здесь функции Л^(г, р, г) определяют сингулярные составляющие
ядра Л, а Акг(г,р, т)-непрерывные функции.
Отметим, что ядро А(г,р,т) интегрального представления перемещений
может быть также получено без использования решения осесимметричной
задачи Лэмоа. Для этого необходимо применить принцип суперпозиции для
линейных уравнений с
переменными коэффициентами [182]. Пусть А(г, р, т) = w -
решение уравнений (2.77) с граничными условиями следующего вида:
= 0. (6.46)
'зз
г=0
= д(г
- р)д(т), ог3
2=0
В соответствии с принципом суперпозиции перемещения w определяются
формулой (6.19).
Применяя к указанной задаче для А интегральные преобразования Лапласа
и Ханкеля, аналогично (2.89) найдем
AHL(q, р, s) = (ffL(q, s)pJQ(pq). (6.47)
Используя интегральное представление функции Бесселя JJpq),
представим Ан таким образом:
(6.48)
298
Применим теперь к подынтегральной функции в (6.48) следствие 2.3.4.
При этом положим
So°(tf) = т) exp(ig cos a), f (q) = GFf{q, t),
n P
С = -, a = cos a.
7t
Тогда из формул (6.48) и (2.111)-(2.113) получим
Ж 00
Л (г, р, х) = / rfa J Nq(x, r)Gj (х - р cos a, г) rfx =
О
= - ^ [Aj(r,p, т) +
iA2(r, р, т)],
л; "
