Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
к1 т - п
Интеграл Л^г, р, х) не имеет особенностей. Выделим сингулярные
составляющие функции Ак1(г,р, г). Как следует из формул (6.26) и
неравенства VkcR < 1 (см- (2.74)), для параметров то и пк справедливы
следующие неравенства:
292
т > пк> -пк1, nkl > mj > -т.
(6.28)
Кроме того для имеем
тх < 0, т > 1, пк1 >0, nkS I, 0 < ^ s у, (6.29) а для Л(,12 найдем
mj > 0, 0 < от < 1, 0 < вк<^.
(6.30)
Структура формул (6.27), а также свойства эллиптических интегралов
[73, 185], показывают, что функция Ак1(г,р,х)
может иметь особенности при m -* +0 (от{ -*1-0, c^r -*
-* г + р - 0) и при m -* 1 (ffij -* 0, сдт -* 1т - р I).
Из (6.27)-(6.29) при от -* +0 для функции А..(г,р, х) имеем
[185]:
4(ryo)3/2Ajtl(r,yo, г) = ЛЛ1(г,р, г) = Лш(г,/>, т) =
1 Л
1 + + o(m) -
-+ o(m)
o(m) l[l ~\m + o(m)] J = ^
= " + o(l) (m -* +0). (6.31)
Таким образом, при m -* +0 особенность в функции
Ак1(г,р, т) отсутствует.
Рассмотрим теперь особенность при т} -* 0. Сначала ограничимся
случаем г * р. При -* + 0 и пк< 0, используя формулы (5.129),
получаем следующие разложения для
Ак1(г,р, г) [73]:
Ак1(г,р, т) = Akn(r,p, х) = ~G(m) =
= --- i In от. + In 2 - \ + o(l). (6.32) TOj 4 l
4 w
И, следовательно, функция Akl(r,p, x) при cRx-* \r-p\ +0 и rjk(r + p) < x
может быть представлена так:
A*i(r> Р' т) = plAs(r< Р'Т)+ко1 + °(2)>
Л"7 'TbWln 1 с*т2_ <r'p)t 1' ,M3)
293
При "j -* +0 и ^ > 0 для ЛЛ1(г, р т) и АЛ1(г,р, т) имеем
Л*|(г,/>,т) = Л.|-(г,р,т) + ^
m
G(m) - G(6k, т) -
_ * У~у^
kl
т т
- п
Ли(г"Я> т) = ~fAs(r> Р> т) + А0 + Яи] + 0(^ (сдт -* I г - р I + 0, ^(г +
р) > т),
(6.34)
8 rfrp
1 + Vn^ Vn^ Vrtm rtM
> "*0 " 1 n*10'
n*10 _ nkl
=fV1 - <&*)¦
V=||-PI 4rpc'^
Формулы (6.34) получены с учетом (6.33) и следующих разложений [73]:
G(6k, т)
+ 1 yj 'nknki _ I т т - пк 2
~Чп
\
klQ
п
*10
+ 0(1),
Р(вк, т) = Р(вка, 1) + о(1) (/и, - +0),
кО
sin 6^ = sin в к
т=1
= V и
И'
mj тх
Пк = ПкО ~ Х2' Пк1 = ПкЮ + ~2~2'
С^к
1 , 1 + sin0ifcO
" 2 1П 1 _ Sin 0^ ~ ,П \/п
410
Щвк, 1) = ?(0№, 1) - m_lm1 + о(т1} (т1 ¦* +0)
т) дЕ t дЕ dBk дЕ !
dm
dm dm' dm 2т^
дЕ ЛГ---------ГТГ" т
= V1 - т sm0,, -г- = ---------------,
к 2т sin вк cos
ЛР , 1
?(ви, 1) = sin 9", -| =j [?("", 1)-/рм,1)],
(6.35)
294
о -Ь
дв,
*0 т=1
m
- 1 =1 2 V п, "п., _
ЛО "10
д/ пЛ1 ,/Г- I 1
V ~------- - V ^
т - я,.
___1N
"лю 4^?v4o
fflj + о(1)
(mt - +0).
При mj -* -0 и пк< 0 из (6.27)-(6.30) для функции Akx(r,p, х) получим
ли(г,р, г) = лш(г,л г) - -
= - ",л -", В - i > 1- 2 -1)/, + o(v] =
= - ^ In I mj I + In 2 - ^ + o(l) (mx -* -0), (6.36)
1
m.
I = -, I. = 1 - 1=---------
m 1 ru-
nt
Из сравнения формул (6.32) и (6.36) получаем, что разложение (6.33) для
Ак1(г,р,х) справедливо и при cRr -*
-* I г р\ - 0, ijk(r + р)< т.
При ml -* 0 и пк> 0 для Акх(г,р, х) справедлива следующая
формула:
л*,(г
(6.37)
Так как при тх -* 0 <рк~* л/2, то разложения (6.35) здесь
использовать напрямую нельзя. Аналогично (5.133) предварительно
преобразуем эллиптические интегралы к новок амплитуде:
Р(<рк, Г) = К(Г) - F(yk, I), lx\g2pk\Z2xpk=l,
E(fk, I) = E(l) - E(ipk, I) + I sin <pk sin ipk, sin fk = Vn^".
(6.38)
Аналогично (6.35) найдем следующие разложения:
1 [~E(ipk, [) + I sin fk sin Vk\ = \
m
1+ VnTT Vn77\
, /to . '"-ho
In-, +-------
*10 rt*10
+ 0(1) (ml -*• -0).
295
S\n2yk
1 h dVk l
- и J- "" - ¦ - " " ^ I
nko ^ г г г I * л
cRt}k ^ и |м
2<W"ko"
JfclO
I sin <pk sin yk
1 л/ пкпкГ _
m ~ пк 1 / у------------- . V "/fcO
