Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
уравнения (6.19) в соответствии с (3.158) и (3.163) аналогично (6.17)
задается так:
w(r, т) = h(x) + ис0+ /j(r).
(6.20)
10 А.Г.Горшков, Д.В.Тарлаковский
Вращение ударника не связано с контактной задачей, и его движение в
соответствии с (3.156), (6.2) и (6.20) определяется следующей начальной
задачей:
°2(Т)
mh = Rg + R, R(т) = 2л J rT(r, x)dr,
0
Л(0) = 0, А(0) = Fq. (6-21)
Здесь в интеграле для R3 в (6.2) осуществлен переход к полярным
координатам (5.19) с учетом симметрии напряжений Т(г, г). Обозначения в
(6.21) аналогичны использованным в (6.14). Однако в отличие от
соотношений (6.14) масса m и силы R и R в (6.21)
е
не являются погонными.
Задача (6.21) эквивалентна интегральному уравнению, аналогичному
уравнению (6.15):
г Ф
h(т) = VQx + 2л J (т - t)dt J* rT(r, т) dr +
0 о
Т
+ / (т - t)Rg(t)dt. (6.22)
о
Таким образом, осесимметричная контактная задача определяется
разрешающей системой уравнений (6.18), (6.19) и (6.20) или (6.21).
Один из возможных методов решения построенных систем функциональных
уравнений будет указан ниже.
§ 6.2. Интегральное представление перемещений в осесимметричной
задаче
Интегральный оператор, определяющий нормальные перемещения w(r, т)
через контактные напряжения Т(г, г) в осесимметричной задаче имеет вид
(6.19). Отметим, что формулу (6.19) можно рассматривать не только как
уравнение для контактной задачи, но и как решение соответствующей задачи
теории упругости при заданных в круге Q напряжениях [36, 37, 66, 71,
188].
Ядро Л(г, р, г) интегрального представления (6.19) с учетом формул
(2.129) для функции Gfl(r, г) может быть найдено в
явном виде. Учитывая четность и периодичность cos а и выполняя замену
переменной z = cos а, аналогично (5.28) представим интеграл для Л в
(6.19) в следующем виде:
290
Л(Г,р, т) * 2pf [Ga{Rv r)/Vl -z2] dz = i
TT.
= %рЦ KVl -\скла(г>я.T) + ла(г'*)1/(V). *=1 L J
l (6.23)
Aitt(r"P. T) = / (Л? ~ c2r2)-3/2(j _ 2у-Шщх _ nkRx)dz,
-1
1
Att(r, /о, t) = r2)(l - z2)-i/2H(T - r,kRx)dz,
-1
Л2 = r2 + p2 - Irpz.
Интегралы и при гр фЬ представим так:
Лн(г>^' Т) = ^~з72Я(22 + 1)Я(1 " - z") Х
X [Я(1 - ^(-1, 22) + Я(г2 - 1)^(-1, 1)] +
+ Я( 1 + 2а)[Я(1 - ^(z^, z2) + H(z2 - \)Ь^гк1, 1)]}
(* = 1, 2), (6.24)
Ак2(Г,Р, г) = Я(1- *А1)[я(-1- ^(-1)+ я(г,1+ l)!^)],
г^ЛГт2) dz
Lк2(у) ~ {ТГ^Т*2' Ll(x'y)' {(z2
r1 + p2 - r2 r2 + p2 - c2r2
2*l = 2/p ' z2= 2rp ' z251 z*r
А при /р = 0 они имеют вид
Ак1(г, р, т) = ж(г2 +р2- с\х2у3/2 [Я(т - ^Vr2 + pT -
- Я(слт -
V77^T)] , (6.25) Р. *) = + />2> *2)я(т - ^Vr2 +Р7)
.
Можно показать, что интегралы сводятся к гипер-
эллиптическим интегралам и могут быть вычислены с помощью квадратурных
формул, учитывающих особенность подынтегральной функции в точках z = ±1.
Интегралы Lj понимаются в
ю* 291
смысле регуляризованного значения и сводятся к эллиптическим интегралам
[73, 145]:
"V-1' z2) = ад = *(*) - jrE^
¦ 1л/ "ги
, 1дГ^
т т - п
к J
(6.26)
L1^1-1) = тф*Е{П' ") • <*", ")" ^ *)- *)
т = ±(1 + aj) = ^[(г + я)2 - с2г2], mj = 1 _ ж = 1(1 - h) = ^[С2Т2 _ (г
_p)2j (
n* = ^ + z*i) = 4^[(г + р)2 ~ Т*] '
rt*i = 1 ~пк = 5<1 ~ hi) = 4^[т? " (г ~^ >
sin0.
= V^", sinn = V
wrn
m - nL
где K(m) и F(<p, т)-полный и неполный эллиптические интегралы первого
рода, Е(т) и Е(<р, т)-полный и неполный эллиптические интегралы второго
рода, т-параметр, <р-амплитуда.
Учитывая формулы (6.25) и (6.26), представим Л. и Л,, в
1 KL
виде
^k2^r' Р' т) = t^(-1) ¦*" ^(пк) ^кЪ^кт)'
\i(r,p, т) = ~^/2Н(пк1)н(т) [Аки(г, Р, х) +
+ Н(т^)Ккп(г, р, т) ], (6.27)
1
\ni.r>P'r) =
т
G(m) - Н(пк)
<Нвк, т)
, 1 уу
т, т -
