Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
.гфс, г) - иа- yxsin & + f(yx) cos
(6.9)
x = ucl rr ^ cos d sin $.
Движение ударника также, как и в предыдущем пункте, определяется
начальной задачей (3.107), ще все массовые и силовые характеристики
должны считаться погонными. Для контактных сил и моментов из (6.2) и
(6.7) имеем aft)
R{ = 0, R3(x) = f Т(х, х) dx,
"ft)
М2(т) = ucl(x)R3(x) + MQ2(r),
(6.10)
aft)
M02(T) = ~f xT(x' r) dx-"ft)
Таким образом, для плоской контактной задачи разрешающая система
уравнений образуется соотношениями (6.6), (6.7), (6.9), (3.107) и (6.10).
4. Плоская задача о вертикальном движении ударника. Такой тип
движения обеспечивается геометрической и массовой симметрией ударника
(см. § 3.6), равенством нулю проекций внешних сил и моментов на оси Ох и
Ох2 (Rgi = Mg2 - 0) и
287
однородностью соответствующих начальных условий в (3.107) "*>1 = ута*о =
шо2~0'
Область контакту в этом случае является симметричным относительно от
Ох2 отрезком (см. (3.136), (3.140)):
Q^l-apO^l, + h + иа * 0,
h = uc~ исО> "со " ~Д°)> и<&)' <6Л1>
"с = иеЗ' ""О " ме03' где А-глубина погружения ударника, у3 - Ду,)-
уравнение гра- |
ничной поверхности ударника.
Интегральное уравнение, связывающее нормальные перемещения границы
упругого полупространства и контактные напряжения, найдем из (6.7) с
учетом (6.11) {59, 60]: t ф
%о(х, Г) = J dt J Gf(x -1, г - 0 Г(|,
*)<&
(6.12)
0 ~"2(0
ш(-х, т) = Цх, г), Г(-х, т) = Г(х, г).
Левая часть уравнения (6.12) определяется соотношениями (3.135) с учетом
(6.11):
гф:, г) * Ыс0 + Л(т) + f(x). (6.13)
Начальная задача для движения ударника вытекает из (3.107) с учетом
(3.134), (6.10) и (6.11):
<*2W
mh~Re + R, Rg - Re3, R(r) * R}(r) = 2 / T(x, r) dx,
0
h(0) * 0, h(0) = V0> V^V^. (6Л4>
Соотношения (6.14) эквивалентны следующему интегральному уравнению:
X e2(0 X
ад - v+ Ч - i)dt f Т(х, t)dx + /(*- t)Re(t)dt. (6.15)
0 0 o'
Следовательно, в этом случае замкнутая система разреша- |
ющих уравнений определяется соотношениями (6.11)-(6.13) и (6.14) или
(6.15).
5. Вертикальное движение ударника. В этом случае предполагается,
что ударник обладает массовой и геометрической симметрией (3.148)
относительно двух плоскостей. При этом, выполняются условия (3.149)-
(3.152). >
Интегральное уравнение имеет вид (6.1). Движение ударника
определяется начальной задачей (3.156) совместно с выра-
288
М
жениями (6.2) и (3.162) для контактных сил и моментов. Очевидно, что в
условиях свободного проскальзывания уравнение вращательного движения
вокруг оси Ох^ не связано с процессом
контактного взаимодействия. Однако угол поворота <р ударника оказывает
влияние на левую часть интегрального уравнения и на область контакта ?2.
Из (3.158) нормальное перемещение определяется так:
w(xv xv г) =
= ис3 + f(xl cos <р + дс2 sin р, -Xj sin <p + x2 cos <p). (6.16) А
граница dS2 области контакта находится следующим образом:
dfi: ис3 + /(х1 cos <р + х2 sin <р, -sin р + х2 cos <р) - 0. (6.17)
Итак, в этом варианте контактной задачи разрешающая система уравнений
задается соотношениями (6.1), (6.2), (3.156), (6.16) и (6.17).
6. Осесимметричная контактная задача. Эта задача является частным
случаем о вертикальном движении ударника. Последний ограничен
поверхностью вращения (3.163). Область контакта является кругом радиуса
а2, который определяется так
(см. (3.162)-(3.164)):
dQ: h + uco+ AW = °* а2 = " "со)'
?2 = {(*1, х2) | г < а^г)}, "со = "соз = -Л(0), <6Л8>>
Напряжения и перемещения в этом случае зависят только от времени т и
радиуса г. Переходя в интеграле (6.1) к полярным координатам (5.19),
уравнение (6.1) приведем к следующему виду [66, 71, 188]:
Г в2"
w(r, х) = f dt f A(r,p, x - t)T(p, t) dp, о 0
2ж _________________
A(r, p,x) = p J Ga (Vг2 + P1 - 2rp cos a, x) da,
(6.19)
о
w(r> r) = ызо^1' X2' T(r, t) - ^ззо(*1' X2'
Аналогичное представление перемещений может быть получено из
непосредственного решения осесимметричной задачи с помощью теорем
умножения преобразований Лапласа и Ханкеля (см. также § 2.6). Левая часть
