Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
V
где интеграл Я^г; r2) совпадает с определенными в (4.170) при i = 2.
Для рассмотренных ранее трех типов граничных поверхностей ударников
(см. § 3.7) интегралы Я1 и Я0 могут быть найдены в
явном виде. Интегралы Я^г; tj, т2) совпадают с вычисленными
для плоской задачи (см. (4.164)-(4.166)) соответственно для параболоида,
эллипсоида и гиперболоида вращения. Аналогичным образом могут быть
найдены интегралы
параболоид
Y2llllr2l -гаг~\а\
(5.140)
эллипсоид
JsO = Я0^ т1> Т2> = ["А " CiarCt8 1"^ +
+ (А - Ад) In I /*21 - 2cVl - г1/а2 In (V(l + r/e)(l - aja) +
4 A0 = c(l -Vl-^/e2 );
• + V(1 - r/a)(l + a2/a) гиперболоид
Js0 " Яо(Г; т1* T2> "
-A + (A - Aq) In lr2l - 2c - In
\
V2 + - ) + 2c V1 + 4 ln 1
+
с ; Ў a2 a
с
1 + \/l + 4
V2 + -
/> /
С
•• 1 t- 1 r?' t \
С , ¦* -t "Г Г /6! "11.
(5.142)
Результаты расчетов контактных напряжений по приведенному алгоритму
продемонстрированы на рис. 5.4 и 5.5. В качестве примера рассмотрен
вертикальный удар по упругому полупространству (сталь; rj = 1,871) шаром
(а ** с " 1), имеющим массу
~&33й<>10 2
Рис. 5.4. Распределение контактных напряжений по области контакта
в различные моменты времени т (осесимметричная задача)
-&зза, Ю"2
Рис. 5.5. Зависимость контактных напряжений от времени при
различных значениях радиуса г. (осесимметричная задача)
277
т - 4,5. Начальная скорость VQ3 = 0,05. Внешняя сила Rg3 ¦ = pQH(r); pQ =
0,1. Параметры выбраны такие же, как и дл
плоской задачи (см. § 4.10, рис. 4.14 и 4.15). 1
На рис. 5.4 приведено распределение контактных напряженщ по радиусу г
в различные моменты времени т. Сплошные вертикальные линии на кривых,
соответствующих г = 0,01 ] т = 0,02, характеризуют разрывы на границе
области контакта • сверхзвуковом режиме (v > 1). Штриховые вертикальные
асимпто ты на графиках при т = 0,05 и т = 0,07 указывают на бесконечны!
разрывы на границе области контакта в дозвуковом режим (v < 1).
;
Графики на рис. 5.5 показывают зависимость контактны; напряжений от
времени т в различных точках граничной полуплоскости. В моменты касания
поверхности ударника точа полуплоскости с координатами г = 0; 0,02; 0,04;
0,05 скоросп расширения границы области контакта сверхзвуковая (конечны!
разрывы на соответствующих кривых). В такие же момент^ времени для точки
г = 0,08 скорость расширения дозвукова! (штриховая вертикальная
асимптота). Штриховая кривая ш рис. 5.5 соответствует напряжениям на
границе области контакта при т < хл.
I
Аналогичные расчеты для параболоида и гиперболоида вр^ щения при тех
же значениях параметров показывают Щ качественное совпадение результатов.
Наименьшие отличия дл| различных поверхностей наблюдаются в начальные
момент^ времени в окрестности лобовой точки г = 0. |
Глава 6. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ДИНАМИЧЕСКИХ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧАХ
В рассмотренных выше задачах о контакте гладких выпуклых тел
исследовался в основном начальный этап взаимодействия, что позволяло
использовать в математической постановке задач граничные условия
несмешанного характера. На произвольных временных интервалах
взаимодействия, как отмечено в главах 1 и 3, необходимо рассмотрение
граничных условий смешанного типа. Это существенно усложняет задачу и
требует применения отличных от использованных ранее математических
методов.
В настоящее время наиболее полно исследованы задачи о штампе
(контактные задачи о колебаниях твердого тела на границе полупространства
при фиксированной во времени области контакта) и родственные с ними. В
соответствующей плоской задаче о штампе предполагается, что компоненты
напряженно-деформированного состояния зависят только от двух
пространственных декартовых координат. Простейшим из подобных вопросов
является задача о полубесконечном штампе. В работе [163] рассмотрены
колебания упругой полуплоскости, на одной половине границы которой равны
нулю нормальные перемещения, а на другой отсутствуют нормальные
напряжения. Касательные напряжения предполагаются равными нулю на всей
граничной прямой. Возмущения задаются сосредоточенной силой в начале
координат. Решение получено с помощью метода функциональноинвариантных
решений. Аналогичная задача (на граничной полупрямой задана нормальная
скорость) рассмотрена в [12]. Применительно к теории трещин в работах
