Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
+ о(тА),
(5J29)
Е(т) = 1 - ^ ml In mj + ^ (4 In 2 - l)mj -
3
- 22 wij In "1 +
a(mx) = 1 - m -* +0) и параметра по r2 найдем
X(m) = - In lr2l + In (8r) + r2 + o(r2),
(5.130)
In (8r) - ^
4+
+ ,r2J (8f)J/> + о(ф (r2 -
0).
Подставляя <5.128) я <5.130) в формулы <5.41) для %rk2(t), получим
4 /Л 4Д*2 Mi2
^%Я2(0 = -з- + -
^-2 2
ЗА/2
ЗА*2
+ 2(V -
1)
la ir^i +
+ I
r
7заЛ
Sr2
to <8r) -
ЗА*2]
16т2
+ o(l), (5.131)
4 /A 4Д*2 ЗАГ2 . /ЗАГ2 -2
* -7" ~ -3"+ Г7Т+* : r2 2
+ 7(^~И1л1г2| +
1+
+1
Г
ЗА*2
*>
ln(8^+^3 +o(l) (r2 "* 0).
Для выделения особенности s функциях X^i*) в <5.41) необходимо
использовать разложения (5J6), в которые входит параметр wij tg2<5^. Его
разложение найдем из (5.41) и <5.128):
.1,
tj tg^ = ---------------- =
m.
1 -
п*ог 2
rf-A*2/,2 г,+
410/
o(fp (г2 - 0). (5.132)
Преобразуем неполные эллиптические интегралы /и) и Е(дк,т) х новой
амплитуде <рк {185}:
т) = К(т) - F(<pk, т), ml tg2<5A tg2<pk = 1,
tg <pk = nk/nkV
(5.133)
273
Е(дк, т) = Е(т) - Е(<рк, т) + т sin дк sin <рк, sin <pk = Vnk. Тогда
функции %rk(t) в (5.41) могут быть представлены так:
+(k=1,2),
(5.134)
Хт = ^4 [~dkF{<pk, т) ~ ЬкЕ(<рк, т) + Ъкт sin дк sin <рк + ск\.
Учитывая (5.128) и (5.133), из (5.86) найдем следующие разложения
функций F{fk, т) и Е(<рк, т):
1 1 +
F^k'm) ~ а0к + 2^/- Г2 + °(гг)' а0к = ln JZ~ '
(tm)ПкО УПкО
(5.135)
Е(Гк, m) = V^ + ^Yrr2 + jp.[%k ~ ^Фк + 3)]г2 + ^-(Р2к + *Р2к + 5рк+1)-
аок г32 + о (rl) (г2 - 0).
X
8г3
+ .з
Здесь использованы следующие формулы:
Г Рк Рк + 3Рк ~ 1
sin <рк - Уп^ |^1 + 2r r2 j^2~
р\ + Ър\ + 5рк-2 з 16г3 Гг
а<№к) ~ а0к + 2rVn~ Гг +
т\х&к=тЛ+^г\ + °(^)>
*Гк _ г\ . /3\
cos^mi V2/'
(5.136)
^0(т) ~ 1 + 16г2 'г + °(/2)' ?о<т) ~ 2 + 64^2 'г + 0(/г)'
274
p№k'm)= i + °(r2)' E\m) = -\ + °(r2)'
m sin^sin^ [l + ^r2 - ^ (p\+ Ър\+ pk+ l)^ +
+ l^(P* + 3P* + 3P*~1)^]+0(/*) ("2 "* 0)'
Подставим разложения (5.128) для dk, Ък и ск, а также
разложения (5.135) и (5.136) в формулу (5.134). Тоща для функций Xm{t)
найдем
.2
а01 + о(1)'
у, (Л = -- ,о"2
xrl qW 2 г 10 Г
(5.137)
а02 + (Г9^°)*
Формулы (5.131), (5.134) и (5.137) позволяют представить
функцию ХгЪ(1) в (5.127) следующим образом:
*л(0 = xJt) + "(Q,
V3
V2 - 1
=
~г
щ
1 , . , 2 -In lr,l----------
Г 2 Г2,
(5.138)
XJS) = xrl{t) + xr2(t) - *"(0>
XM = ~4
^ 707
to2 -1)
In (8r) - H(2r - r + rj V/i," +
'10
(3(r - r/ ) I
- (2^2 - 1)U01 j + H(2rjr - r + r,
8Г2
8Г2
02
Следовательно, интеграл в (5.127) может быть разложен на регулярную /
и сингулярные / и /. составляющие:
275
Js.Hl(r,,vrj= dt. /
'aW h '2
(5.139)
2 2 7s0 " Я0^ V гг) " / ^ ln1/-2' A-Jin Ir2(A)I
dA,
