Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Горшков А.Г. -> "Динамические контактные задачи с подвижными границами" -> 88

Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.

Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами — М.: Наука, 1955. — 352 c.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskiekontaktniegranici1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 91 92 93 94 .. 121 >> Следующая

КО, т) = MTWV -1 "оф.
г~г^-а2ф = 0. (5.119)
Здесь учтена возможная не монотонность изменения радиуса а2 области Q.
Для расширяющейся области контакта (v > 0) могут быть найдены
конкретные пределы интегрирования в (5.118) в соответствии с' формулой
(5.49). В этом< случае существует не более
одной точки т<§ = т10, удовлетворяющей уравнению (5.119). Давление в
центральной точке имеет вид
А(г,о)
Р(0, т) = h(r)H(r) - t + W j Н(г - aj, aQ = а2(0). (5.120)
Этот результат следует из (5.52) при г, -* оо.
Для равномерно расширяющейся области (e2 = aQ + vQr) формула (5.120)
упрощается:
р(0, т) = h(T)H(r) - h
х --- во)
1 + V
\
Н(г -aj r-a0
т,Л = т-гг1. (5.121)
1 + vQ ' Ю 1 + vQ
В частном случае фиксированной области контакта (vQ = 0) из (5.121)
найдем следующее выражение:
р(0, т) = h(r)H(r) - h(r - а^Щт - aQ). (5.122)
в. Равномерно расширяющаяся область контакта при постоянной
скорости внедрения. В этом случае интеграл I в (5.118)
может быть найден в явном виде по формулам (5.55), если учесть,
269
что h(t) ~ Vq. При г = О, выполняя предельный переход пр] 7-"" в
(5.57), для давления получим следующее выражение:

Р(0, r) = Vn
(5.123:
Очевидно (5.123) является частным случаем формулы (5.121).
Для фиксированной области контакта из (5.42) и (5.60)-(5.63 найдем,
что контактное давление определяется так:
р(г,т) = VQ[H(r)H(rQ2) - J(r, t).
(5.124]
1 г <2 + rmrn? * i
тт)=ч.(- тю
0 - <V -
- л 1№ - |'ю|) - Н(Г - roi>J щъ + 'о/оЛМ! +
+ Я(т - r0l) + ^з(г01^ где интегралы
N2(t) и Л^3(г) определены в формулах (5.62).
Подставляя выражение для N2 и из (5.70) в (5.124)* получим
Р(Л f) = ^о{я(г)Я(г02) - ^ [arctg V(r2-4)/(4-r2) +
+ arctg ^^ " 4)^ " т2) ] [Я(Т ~ |г02|) " я(т " V1 ~
(5.125)
- я0 " V \ ^ + sign Г02)
Тот же результат можно получить из формулы (5.72) при Г) ¦* оо (ЛЛ, СА, -
* 0).
Отметим два частных случая. В центре области контакта (г = 0)
давление, как следует из (5.125), имеет вид (5.76). Эта же формула
вытекает из (5.73) при у •* оо. Заметим, что формула (5.76) является
частным случаем представления (5.122) при h = VQ или вытекает из (5.123)
при = 0.
Для акустической среды, как следует из (5.125), давление на
границе г = eQ области контакта является непрерывной функцией:
Р(% - 0, г) = р(в0 + 0, г) =
г. Асимптотическое представление давления вблизи границы области
контакта. Так как асимптотические формулы для напряжений в случае
упругого полупространства для плоской и осесимметричной задач совпадают
(см. § 5.6 и 5.7), то формулы (4.151) и (4.152) остаются справедливыми и
в осесимметричном случае.
§ 5.9. Алгоритм вычисления контактных напряжений для осесимметричной
задачи
Задача определения напряжений вне границы области контакта (,г *
а2(т)) и при г # 0 по формулам (5.42) и (5.43) сводится в
случае выпуклых ударников к вычислению соответствующих интегралов в
(5.46) и (5.49). Как видно из формул (5.43) и (5.41), интегралы,
соответствующие I (г, т), имеют только интег-
S -
рируемые особенности на концах отрезка интегрирования. Они могут быть
сведены к комбинации интегралов вида (4.156) и вычислены, например, с
помощью квадратурных формул (4.157), (4.158).
Подынтегральные функции в /^(г, т) в формулах (5.46), как
следует из (5.41), при v(r) > 0 могут иметь единственную особенность в
точке t = rQ, где rQ определяется аналогично rQ2 в
(4.21) как корень уравнения г2(т^ = 0. В том случае, коща т0
принадлежит отрезку интегрирования, любой из указанных интегралов может
быть представлен в виде комбинации интегралов от непрерывных функций и
следующего интеграла:
Т2
j = j k%3(t) dt, xrb(t) = xA{t) + xr2(t), (5.127)
T1
где функции xrl, Xr2 определены формулами (5.41).
Выделим особенность функций Xr$(t) в точке t = tq, что соответствует
г2 = 0 или т1 = 0. Для этого сначала найдем разложение коэффициентов dk,
bk и ck по степеням г2 в точке
Г2 = 0:
Г1 = 2r+ г2, т1 = ~2 Г2 ~ ^3 Г2 + т=1-^2/2 + ^3А2 +
п ~ П , 4ПШ ~ 1 j2 4ПШ~ 1 3 + (г3ч
nkl~nkl0 г Г2+ 4р. *2 4/.3- 2 + °^2>'
271
Учитывая разложения эллиптических интегралов |73]:
К(т) = - ^ In Wj + 2 in 2 - ml 1п т{ +
1 1
+ -^ (21а 2 - 1)т1
Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 91 92 93 94 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed