Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
Gy( Ф; av a2) = В ft) Ф(г, 0)e(~2^+5)/4 4- [^>(|у)Ф(т, 0) +
+ вР\т))Ф'{т, 0)je(_2/+7)/4 + о(гГ2у+7)/4) (/'> 1) e- +0,
где Ву(г)) и в№\г)) определяется так:
V')=V') =
я?/(л) = в$(я) = w I _у> я$(ч) - лу0, -у в2^ = лу\, -г
_
2f +
jVl'
?<* = - "(Л "
~ ^ll\д+\ + ^Ol" а2\ ~ ^12^д+2 + ^0,^+3' Ylg =
Р\\а2\Кд ~ Р2\\Х\,д+\ ~ ^21 + ^12^+2 + \<?+3 ^ G
(2? + Ъ)кя+2 -ргп(2д + 1)^ = 0, (5.112)
(2? + 3)Х0 q+2 + 2(<? + 1)(3а01 - а21 - ^12>9+1 -
- (2q + 1)/^ + 2<?^1(а21 - =
О,
(2д + 3)Я1?+2 - 2(д + 1)(а2, + Щ2)^+1 -
- (2q + + 2qfin<x2lKii_l -
О,
к = I V-~ ка/2) к = -- А = А - ^(?12-~-а-21-1
0 я ^11 лко 00 10
2?гп
^01 = 2 *0^21 + ^12 " ^Ol)' ^11 ~ 2 *о(а21 + P\l)'
а коэффициенты и filk даны в (4.119) и (4.122) соответственно.
Функции ?) в (5.93) удовлетворяют условиям утверж-
дений 5.4 и 5.5. Тоща для интегралов 1^. в (5.92) н 1М в (5.89) получим
Wr- е> " WVW*' °)?'/2 + "<е'/2>.
266
WT' ?> = Воо(\К^> °)[iln ? + Boi(9*)]e1/2 + °<el/2)>
/ *3(r, 0 =
= П)<т' °> " Frkl(T' °)[lЫ e + В01&к)]}е1/2 + °^/2)'
Irk4(r, e) = Bi0(Vk)ФгМ(т, 0)e5/4 + o(e5/4),
/ ^(т, e) = -В,Д)Фг</г, 0>5/4 + o(es/4) (J = 5, 6), (5.113)
°) * V
Подставляя разложения (5.108) для 1^, (5.113) для /,10 при
Tjk = 1 и (5.105) для Ir2(j в формулу (5.79), окончательно получим,
что при г = t^j < tj2 (v - 1) асимптотическое представление
напряжений сг0(т, е) при е -* 0 совпадает с полученными для
плоской задачи формулами (4.146).
Отметим, что также, как и для плоской задачи, может быть рассмотрено
поведение контактных напряжений в дозвуковом случае (г > т^).
§ 5.8. Давление на границе акустического полупространства
С помощью предельного перехода при у -*" (см. § 1.6) аналогачно §
2.9, 4.4 и 4.9 перенесем полученные в предыдущих параграфах этой главы
результаты на соответствующие задачи для акустического полупространства.
.
а. Интегральное представление давления. В пространственной задаче
формула (5.11) сохраняется. Однако в ней необходимо положить ст330 = -р0,
где р0~давление в области контакта ?2.
Функция влияния Г(х, у, г) определяется связью (5.1) с функцией
= [5иЧ) - °)?l/4+°(е1/4)'
е) = °>е3/4 + °(е3/4>*
WT' В) = -В12(т,к)Фт(х, 0)е1/4 + о(е1/4),
4-
1
- ^(7*)](r)^, 0)}е1/4 + о(е1/4) (е - +0),
а,
01
267
Гд(г, г) я выражением (2.140) дли последней в случае акустической
среды. При этом ядро представлений (5.11) имеет носитель, совпадающий с
характеристическим конусом S(x, у, г):
stipp Г(х - |j, у ~ |2, г - 0 " $(х, у, г): / = т- Л3(|1? |2),
w , ' att-.f-^alf|2)]
(* " *1' У " 2* т " () * * (5Л14)
*s(Ma> * +
Следйвательно, первый интеграл (5.11) переходит в поверхностный по S
Г\ D, и может быть сведем к двойному по области ?2(тф), где SQ(tJ и S П
9D (см. рис. 5.1). Второй интеграл в (5.11)
сводится к криволинейному по 0?2(*ф)., Отметим, что полученная
таким образом формула соответствует методу, использованному в работах
[26, 27] и основанному на представлении потенциала скоростей в виде
запаздывающих потенциалов.
Для осесимметричной задачи давление определяется формулами (5.25) Или
(5.27). При этом ядро в(г,р,т) существенно упрощается. Из (5.28) и
(2.140) при р = 0 или г = 0 найдем
0(г" 0, т) = 0, 6(0, р, г) ^ <5(т - р). (5.115)
При /р # 0, учитывая (5.35), получим
р i rz- р
- - =4 - *") * - - Я(',')Я<""> -
-------------tW-/3---------------Я(г + "-т)х
jttV [(r 4- p)2 - r2] [T2 - (r - p)2]
x tf(r - lr-pl). (5.116)
Или в обозначениях (5.41) имеем
б [г, a2(t), ДГ] =x(t) =Xs(t)H(rl ~ &t)H(At - lr2l),
(5.117)
Дг2 + г, г.
х,(0 =.................-...-----------------, x.fci0 = о-
л:Дл/(rj - Ы2)(Д*2 - г2)
268
Те же формулы могут быть получены при г, ¦* оо соответственно из
выражений (5.40), (5.38) и (5.41).
6. Давление в осесимметричной контактной задаче. Из формул (5.42)
и (5.43) с учетом (5.117) при г > 0 найдем
Р(г, г) = -сг330(л г) = к(т)Я(т)Н1а2(т) - г] - / (г, г),
т (5.118)
/(г,г) = /А(№ a2(t), Л<] dt. о
В центральной точке г - 0 подстановкой функции в из (5.115) в
(5.118)-или предельным переходом при в (5.44) получим
А(т(*))
