Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
(5.103)
a = -a11a_1v+ + 22_.v+Ll - v+._, p 11 21 p 21 p+l p+2'
коэффициенты a.^ даны в (4.114), zn и z21-в (5.99) и (5.101), а
последовательность v+ задана рекуррентными соотношениями в
(4.117). Р
262
Применим теперь утверждения 5.1-5.3 для построения асимптотических
разложений интегралов /^. в (5.92) и 1М в
(5.89), учитывая формулы (4.114):
WT> ?) = *<х>ЬРтиР' °>? + °(?>'
, WT'?) = еВоо? + °) + °(?)-
WT>?) = "?5оо^Р[1п е + BmtoflFrkfi' °> +
+ еВоо(Чк*In Vfi' °) + °(?)'
WT'= втbiPrkfi'0)е2 + о(^'
,И(Г, е) = [в01Л21(7*) - BJr,k)](r)rk5(T, 0)е2 + о(е2),
гАб(т> ?> = -У*М + "ЬА1(9*)1фЛ(т^ + "ft- ?) = 5~ [B2l(^) ~ ВЦ(^)]Ф^(Т'
°) + °(1)>
,*8<Т' ?) = - lBn^l) + а01В12^)]Фг>> °) + °(0' rW(T> ?) = ~ВП^к}Фгк^Г'
°> + °(1>>
(5.104)
гАО(Т>?)=^4 да/
~ 512(^)ФиЬ9<г' °)f + °0) (? +0)-
Отсюда и из формул (5.82), (5.87), (5.91), (5.93), (5.101) и
(5.103) с учетом (4.114) и (4.117) для интеграла /г20(г, е) найдем
при т<тй (tj2 ^ j;):
WT> ?) = " "Г4 + o(l) (e - +0),
r20v
vy
^g(O) - flj* ^kl^' ^ >01^' ^ - 2t*2' ^21^'
(r, 0) = -----vyv-l, ^27(r, 0) = 0,
(5.105)
Ф
r27v
j/v
Ф29(т, 0) = -V7V -1, ^29(t, 0) = -4yh,
B2\W ~B\№ =Л
11'
JL
1
263
Аналогично для 7,10(т, е) получим следующее разложение при * < T,i
(*t\ш
у/v2 -
1
Wr'*> - Ч -Чг- * (V1-!)
ч
1 _
1
<?и(г,0)~ I, Фг1?(г, 0) " ^>.0) " -*%2 - 1).
'"('.О)
vV^i,
+ 0(1)
(е -* +0),
(5.106)
0)
0) -
гг1(1)-*"(1) - *1
VT^I,
^.0) = 4й,
/ЛП"'
"* "я'
Подставляя разложения (5.97), (5.105) и (5.106) для и
1гкв в формулу (5.79), окончательно получим, что яри х < т j
(v > 1) асимптотическое представление напряжений aQ(x, е) при
г -* 0 совпадает с полученными ранее формулами (4.145) для плоской
задачи,
8 5.7. Асимптотическое представление напряжений случай}
Рассмотрим теперь поведшие контактных напряжений oQ(x, е) яри г -* +0
для случая, когда скорость расширения границы области контакта равна
скорости распространения волн расширения-сжатия в упругой среде (t<r) "1,
х = т^). При этом
используем результаты аналогичного исследования для плоской задачи (см. §
4J).
xgk можно представить
Интегралы Ifkj и / в (5.90) при т
в виде (5.92). При этом под (t, е) понимается функция,
определенная в (4.123), а в формулах (5.94) функцию 5(0 необходимо
заменить на Q(t) (см. (4.123)).
Аналогично формулам (5.96), сравнивая интегралы G3J в (5.94)
и в (4.123), на утверждения 4.4 (см. § 4.8) найдем
буф; av а2) - 7f(r, *) * лВ*(т])Ф(т, 0)Г1/4 + о(1),
(5.107)
264
в31(Ф;аг<х2) = 7< !)(г, е) = ^В+(?/)Ф(г, 0)е'1/4 + о(1)
it •*
+0).
Отсюда аналогично (5.97) для интегралов 7^, /$2 и/^с учетом формул
(5.89), (5.91)-(5.94) и (4.125) найдем (tj ** 1)
V*. f) = °<1)' V' ?) * (|) fo/la2l е'1/4 + о(1),
7*о = " "Г **¦ (l) ^2/Ja2l?~1/4 + 0(1) (9 -*> +(Г),
^,0)=-^-, *>2(г,0) = ± <+(9) - V^7.
Для интегралов G^, GQ1, GQ2, Gyj и G^ в (5.94) в критическом
случае взаимодействия справедливы следующие утверждения (доказательства
аналогичны утверждению 4.3).
Утверждение 5.4. Пусть: 1) Ф(*, е) ? C(i/); 2) a2(f) е
€ <^(0, г), v(t)>0.
Тоща для интеграла Сц^Ф; ау а2) в (5.94) при г = af
существуют такие числа B0j(rj) (j = О, 1, 2), что
<уф; ах> а2) ~
= В^)\~ In е + 50у("7)]ф(т, 0)Ve + o(Vc) (/ = 1, 2),
(5.109)
^(Ф; av а2) = В^Щт, 0)Ve + o(Ve), е -* +0, ще числа имеют
вид
*00(1) = -/*u = V2/1 ii21 , BQl(V) = BQ2(V) * In В^п) - 1.
(5.110)
Утверждение 5.5. Пусть: 1) Ф^(<, е) 6 C(t/), дФ/ d<5 J ^ = О,
<5 = Ve; 2) a2(/) G С/+2(0, г], v(/) > 0.
Тоща для интеграла <3^(Ф; а{, а2) в (5.94) при т =
существуют такие числа B.^tj), В^(г}) и в№(г)) (i = 1, 2, / > 0), что
СЮ(Ф; аг а2) = Дю(7)Ф(г, 0)е5/4 + о(е5/4),
(5.111) 265
