Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
"2 ^v2
W = f + О?2 - 2)2 + [{t}2
- 2)2 - 2] sign r,
02 roi
02
(5.71)
248
= Ц~
3 Г,
/1--^ + 2signr02
02 4*1
Подставляя вычисленные интегралы (5.64), (5.62)-(5.71) в формулы
(5.60) и (5.42), для напряжений <гш окончательно
получим следующий результат:
аззо<г'т) =
V 2 г
- - V'W^W + -Л 2 w(t' '*|г02') - ff<r - Voi" х
Щ к=1 1
АкЩ, т) + BkE(6k, ni) + CjVfoJ* - "V - V& +
+ А.
arctg
^1Г02 J01
2 2 2 + arCtg r ' "2 2 _ 2
" 1 02 ПкГ0 j ~ T
2 2 2 T - V02
№
J
+ Я(г - ^/-01)М^(/я) + ^?(m) + ^ DiP- + siSn r02)3 _2
2r
01
3/01Г02
*1=~ 1 Г02
*2 = ~ 2 'ог
Г01Г02
+ 2j/ - 1
2r_
л 2г / 2 \
i * 2
= --- 01Г02
2 г
01
(5.72)
Г01Г02
l+T2i + ^'
02 3r01 2r 2r
! + ZM. + 02
3r02 3r0I
-(2i72-l)
+ Tj
1 " 3r r",' C2 ~ 4CV Dl~Tl
01 02
z>2 = o.
Наиболее простой вид формула (5.72) принимает для
напряжений в центральной точке г = 0 (r01 = rQ2 = о^):
Формула (5.73) существенно проще аналогичного выражения для' напряжений в
центральной точке для плоской задачи, которое' следует из (4.58) при х =
0.
Отметим характерные особенности напряжений <7330(0, т),
следующие из (5.73). На интервале г е [0, а^) напряжения
постоянны и равны (-Vq). В точке г = aQ при rj2 > 2 имеется разрыв, а при
т = rjaQ напряжения непрерывны:
4
lim стззо = _Т0'
т -> а -0 и
о
-1)'
% а +0 W
о '
lim паззо= 11111 Ааззо
* г/а -0 т яа +0
'о 'о
V
(5.74)
2
Для среды с нулевым коэффициентом Пуассона (v = 0, tj = 2, см. § 2.5) в
точке г = aQ напряжения также непрерывны. Можно
показать, что на интервале г е (aQ, j/a0] имеется экстремум в
точке т#, функция (-сг330/ Vq) является выпуклой, и справедливы
следующие неравенства:
°330 4 (2t)2 ---
Fo II 3
1
-a j
¦м
a330 о
330
^0 у r=a+0
т=т r0
•
°330 > --- a330
Fo т=ао+° ^0
°330 a330
F0 x=a +0 ^0
0
3/2
2rf - 1
ззо
> -
330
(5.75)
х=па
х=Чап
(V * 4),
(V > 4).
Зависимость в центральной точке от времени при
различных значениях rj представлена на рис. 5.3. Предельному случаю
акустической среды соответствует rj - <". Контактное давление в
центральной точке в этом случае, как вытекает из (5.73), определяется
так:
Р0(0, г) = -а330(0, г) = V0[H(r) - Н(х - а^]. (5.76)
Следовательно, в осесимметричной задаче зависимость давления от времени в
центральной точке существенно отличается от соответствующей функции в
плоской задаче (см. § 4.4). И прежде
250
1
7)=ао
О
1 т/2т/3 2 VB 't/a
Рис. 5.3. Зависимость напряжений в центральной точке г = 0 в случае
фиксированной границы области контакта (осесимметричная задача)
всего это отличие заключается в наличии разрыва при т = aQ.
Более подробно распределение контактного давления для акустического
полупространства будет рассмотрено в § 5.8.
§ 5.5. Напряжения в окрестности границы области контакта для
осесимметричной задачи
Основываясь на представлении (5.42), рассмотрим поведение контактных
напряжений ст330 в задаче о вертикальном ударе
абсолютно жесткого тела вращения, ограниченного гладкой выпуклой
поверхностью, по упругому изотропному полупространству. Контакт
происходит в условиях свободного проскальзывания. Так как радиусы в2(т)
пятна контакта для плоской и осесимметричной задач определяются
аналогичными уравнениями (3.136) и (3.164), то анализ поведения скорости
v(r) и ускорения а2(т)
изменения области контакта, проведенный в § 4.5, остается в силе и в этом
случае. Поэтому далее будем полагать, что выполняются следующие
соотношения:
Для исследования поведения напряжений в окрестности границы области
контакта аналогично (4.92) введем параметр
ао = °' roi = г' г02 = ~r' vo = = +00'
v(t) > 0, a2(t) <0 (t е [0, т]).
(5.77)
е = г2(т) = а2(т) - г.
(5.78)
251
При достаточно малых по абсолютной величине значениях < из формул
