Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
P
где 1
Т.—<(-°Р. о)' (L21)
om = (oJB). р=-(отАв) (1.22)
— эрмитовы матрицы (обобщенные матрицы Паули), удовлетворяющие соотношениям (ср. (1,14), (1.15) и (1.22))
Om = Cm, рт — Pmi (1-23)
OmPn = gmn± -Y-EmnrsOrPs] (1.24)
Pma- = Smn T -Y EmnrsPrO3. ( 1.25)
Используя определение метрического биспинтензора и эрмитовость метрического спинтензора (ср. (1.23)), находим Yi+ = -PYiP- Значит, все Y"MaTPHUbI Дирака не могут быть одновременно эрмитовыми.
При спинорных и координатных преобразованиях метрический биспинтензор преобразуется следующим образом: Y/' = SywS""M1/1, где матрицы S и S""1 определены посредством соотношений (1.9) и (1.10).
Метрический биспинтензор, как это видно из его определения, каждому биспинору Mf однозначно ставит в соответствие действительный вектор
7-,.^/4^=(^)( O^ *")(*') _ a^xV + a/Чф*
вычисляя квадрат которого находим
TiTi=- 4 IxV I2. (1.26)
Таким образом, полученный вектор Ti временноподобен или изотропен, если Ц)А.
Большую роль в теории биспиноров и в особенности в ее приложениях играет величина
V= --TPB^YVYY. (1-27)
23 которую также иногда обозначают посредством Ys- Используя соотношения (1.21) и (1.24), а также свойства псевдотензора Леви-Чивита, находим
откуда следует Y2 = /; Y+=YJ {y> Yj = YYm + YmYr=0- С по" мощью введенной матрицы y из уравнений (1.23) и (1.24), определяющих алгебру метрического спинтензора, находим [44] основное уравнение для метрического биспинтен-зора
ymyn=Sj+ (1-29)
из которого следует ряд важных соотношений:
^Yj=Sgmn/; (1.30)
Smri^ JrIYm, Yn]= "у"Zmnrs YrY5Y- (1-31)
Заметим, что формулы (1.29) и (1.30) идентичны, так как соотношение (1.31), хотя оно и удобно для конкретных вычислений, Представляет собой тождество, непосредственно вытекающее из (1.27) и (1.30).
В заключение выпишем ряд полезных формул, которые нам понадобятся в дальнейшем:
YmYrYm= -2Yr, [Sm„,Y] = 0; (1.32)
[ye,Smn]=-2i(gemyn-genym); (1.33)
{Y*,Sm„}=2emn/Y5Y; (1-34)
[S*5, Su]= Skr + gklSrs + gkrSsl + g5 Slk); (1.35)
[Smni Sik)=2 (gnk gml-gnlgmk+iemnikY). (1.36)
§ 1.4. Алгебраические и трансформационные свойства обобщенных матриц Дирака
Естественным обобщением комплексных чисел являются гиперкомплексные числа. Особый интерес для физики представляют числа Клиффорда (Clifford, 1878), специальным представлением которых являются, как известно, постоянные матрицы Дирака, определенные в пространстве Минковского. Из этих матриц можно построить 16 линейно независимых матриц, представляю-
24 щих собой базис алгебры Клиффорда. В общем случае — в римановом пространстве или в криволинейных координатах — это уже не так. Однако многие алгебраические соотношения тем не менее сохраняются или видоизменяются незначительно. Поэтому для лучшего понимания алгебраических свойств обобщенных матриц Дирака приведем (без доказательства) некоторые теоремы, справедливые и в общем случаев
В качестве базиса обобщенных матриц Дирака выберем 16 4Х4-матриц yq(Q= 1, 2,... ,16)
(Yo) = (/. Ym. «YmY. Smllf Y). (1.37)
Тогда обратный базис y" есть (yq) = (A ym. *ymy> Smn, у). Действительно, YqYq = / + YmYm - YmYYmY + SmnSmn + Y2 = = 16-/. Матрицы Yq и Yn удовлетворяют очевидным соотношениям Yq = -?Y??, (y")+ = — ?YQ ?-
Теорема 1. Шпур всех базисных элементов (кроме единичной матрицы) равен нулю: SpYQ = SpYfi = 0, если 0=/=1.
Доказательство теоремы становится очевидным, если учесть, что все матрицы Yq (кроме /) могут быть представлены в виде коммутатора двух других матриц.
Теорема 2. Все базисные элементы Yq (Yfi) линейно независимы.
Доказательство теоремы непосредственно следует из теоремы 1.
Теорема 3. Произведение любых двух базисных элементов Yq и Y2 всегда можно представить в виде*** VqY2= e«r.\YA» где коэффициенты разложения вычисляются по формуле
e?SA=e2Aa = eAQ2= J-SP(YaYQY2)-
Теорема 4. (Обобщенная теорема Паули.) Пусть два набора Y-m3tPhU Ym и Ym удовлетворяют перестановочному соотношению (1.30) с одной и той же метрикой: (Vm' YnMYm, Yj = 2gmn. Тогда существует (причем единственное) биспинорное преобразование S(detS=/=0), связывающее оба набора: Ym = SYmS-1 или Ym = S-1 YmS.
Подробно доказываются эти теоремы в [36].
По повторяющимся индексам суммировать от 1 до 16.
25 Практическая ценность обобщенной теоремы Паули состоит в том, что любые четыре матрицы vm, удовлетворяющие перестановочному соотношению (1.30), можно использовать в качестве метрического биспинтензора (обобщенных Y-матриц Дирака). Конкретный выбор у-мат-риц фиксирует, таким образом, выбор базиса в спинорном пространстве.
В заключение более подробно остановимся на преобразованиях в спинорном пространстве. В отличие от группы Лоренца, допускающей как тензорные, так и спинорные представления, для группы общих координатных преобразований существуют только представления, соответствующие тензорным плотностям. Поэтому спинорные преобразования в общем случае не имеют ничего общего с координатными преобразованиями. В качестве примера рассмотрим следующую задачу: какие координатные преобразования могут быть компенсированы биспинорными
