Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
W =S-lVi = (1.10)
Заметим, что формулы (1.9) и (1.10) справедливы лишь при непрерывных преобразованиях.
Наряду с биспинором xF в теории Дирака важную
19 роль играет сопряженный ему биспинор = Xі4)» позволяющий строить инварианты 1P1F =Ф/»Х<4 + ФІ4Х/І = Ifiv-С помощью инвариантной относительно координатных и спинорных преобразований матрицы [31,39]
МйУМ,0»') _ с-'»
сопряженный биспинор Hf можно записать так: 4r = 4/+?,
где Mr4" ф^) — эрмитово сопряженный биспинор. Очевидно, что матрица ? обладает следующими свойствами:
?-' = ?, ?+ = ?, ?2 = /. (1.12)
Из соотношений (1.9) — (1.11) находим S+ = ?S~,?, т.е. биспинорные преобразования, представляющие собой специальное (приводимое) представление группы Лоренца в общем случае не унитарны.
§ 1.3. Связь спиноров с тензорами
В теории групп доказывается, что собственная группа Лоренца допускает два принципиально разных типа представлений: тензорные и спинорные [40,41]. Между этими представлениями существует связь. В частности, из спиноров, являющихся более фундаментальными объектами, могут быть построены как векторы, так и тензоры произвольной валентности.
Начнем с вектора. Очевидно, что вектор в общем случае можно построить из спинора валентности, не меньшей двух (он должен иметь четыре линейно независимые действительные компоненты). Из теории групп следует, что этот спинор должен быть эрмитовым, например Xab(Xab=zXba)> преобразующимся по неприводимому представлению группы Лоренца D (1/2, 1/2). Из спинора %Ав так же, как и в пространстве Минковского (ср. [33]), с помощью метрического спинтензора ОіАв [36] (переводящих симЬолфв Инфельда — Ван-дер-Вердена [32,35]) может быть построен вектор
U= -J-O1abXab. (1.13)
Только в том случае, если ограничиться унимодулярными спи-норными преобразованиями.
Латинские индексы пробегают значения от 1 до 4. Сигнатура пространства-времени (1, 1, 1, —1).
20 Чтобы получившийся вектор был действительным, необходимо потребовать эрмитовости метрического спинтензора:
°1ЛВ = °„Л, ОіАв—а,вА. (1.14)
Заметим, что спинорные и тензорные индексы у OiA8 опускаются и поднимаются с помощью метрического тензора gmn и фундаментального спинора уАВ (уА6) соответственно. Очевидно, что метрический спинтензор удовлетворяет следующему закону преобразования:
a/'^AVVrV.
Изучая связь тензоров со спинорами в пространстве Минковского, Хариш Чандра [42] нашел общее алгебраическое соотношение для метрического спинтензора, которое при обобщении его на произвольные римановы пространства принимает вид [36,43]
om6Aon6c=gmnyAc±-L emnrs C6aOs6o (1.15)
гдє Emnrs - псевдотензор Леви-Чивита Ч Знак необ-
ходим для сохранения общей ковариантности выражения (1.15), и его появление обусловлено псевдотензорным характером преобразования Emnrs. Из (1.15) и линейной независимости метрического спинтензора (по спинорным индексам) можно получить следующие важные формулы [36]:
^AAanAA = aJAonCDyucyAD= -cIgmn; (1.16) *т*А*шЪс=ЪА6 (1.17)
gmnaJAonCD= -2y6CyAD. (1.18)
Умножив обе части соотношения (1.13) на и использовав (1.18), найдем
XAB=-GiABlh (1.19)
Таким образом, метрический спинтензор устанавливает взаимно однозначное соответствие между эрмитовыми спинорами и действительными 4-векторами. В этой связи
Напомним, что псевдотензор (или аксиальный тензор) отличается от истинного тензора тем, что при координатных преобразованиях с det(/4'm)<0 он умножается на — 1.
21 можно говорить, что xab и fr — СУТЬ различные, спинорные и мировые, компоненты одного и того же вектора. Чтобы сделать эту связь более наглядной, иногда наряду с базисными векторами Єі вводят [43] четыре линейно независимых комплексных вектора
ЄАВ^{ЄIh ^f 2» ^2)= -CJ^0
таких, что еАв = eBA, eAB = eRAt и называют их спинорными базисными векторами. Очевидно, что для любого вектора ? можно записать
?=?'=-\еАвХАв. (1.20)
Следовательно, метрический спинтензор можно рассматривать (с точностью до несущественного постоянного множителя) как компоненты векторов е,- в базисе еАв или, наоборот, как компоненты базисных векторов еАв в базисе Єіу т. е.
OiAB= —Єі'Єав* Єі=-\-Єав°іАв-
По аналогии с векторами можно определить спинорные компоненты тензора произвольной валентности. Например, для метрического тензора gmn получим
SabCD==^ IfaiABaiCogij*
*<!= (І)2 ^0S AB^ Интересно, что спинорные компоненты метрического тензора представляют собой, как это видно из соотношения (1.18), внешнее произведение пунктированного и непункти-рованного фундаментальных спиноров: = —^УасУво-Используя (1.13) и (1.18), находим, что для произвольного вектора Tm выполняется равенство
TmTm=-Ar TabTab,
из которого при учете антисимметрии фундаментального спинора следует интересное соотношение
TmTm=- -4rdet(TAB),
где Y=VVi2Yfi -Таким образом, вектор
_ 1 _ ав
Ui=-Oi CD^(i)0,
22 построенный из спинора wA и комплексно сопряженного ему спинора со л, будет изотропным: UiUi = 0.
По аналогии с метрическим спинтензором в пространстве биспиноров вводят метрический биспинтензор (обобщенные y-матрицы Дирака)
