Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
быть спиноры различных валентностей, например, х^.сй-Причем закон преобразования очевиден из расположения индексов:
Л,А'в'..._ к А' к в' д ? л d„Ab...
Так же, как и тензоры, спиноры могут быть симметричными и антисимметричными; к ним применимы операции сложения, умножения на комплексное число, внешнее и внутреннее умножение. Кроме того, для спиноров определена еще одна операция — комплексное сопряжение: (x^b)* = ХАВсЪ> действующая на спинорную систему (S). В соответствии с этим смешанные спиноры (т.е. спиноры с пунктированными и непунктированными индексами) валентности 2 могут быть эрмитовыми и антиэрмитовыми.
Смешанный спинор %Ап называют эрмитовым, если XABzrzItBA*
т. е.
(Xfi Xi і X2 іЛ (і 5)
V Xii X^2/ VXjiXai''
и антиэрмитовым, если Xab= —~ХвА-
Для установления изоморфизма между S'и S. введем метрику. В отличие от метрического тензора фундаментальный спинор Y^fl (или уА6) антисимметричен: уАВ= —уВА. Поэтому только одна его компонента отлична от нуля: VM = V22 = 0' V12=-V21^O.
Контравариантные компоненты фундаментального спинора введем с помощью соотношения Y^flYcfl=Sjj = Y^c. Определение фундаментального спинора устраняет принципиальное различие между спинорами с верхними и нижними индексами и позволяет их рассматривать как различные (ко- и контравариантные) компоненты одного и того же спинора. Так как фундаментальный спинор антисимметричен, то, поднимая и опуская индексы, надо внимательно следить за их порядком: при опускании индекса суммирование идет по первому индексу у уАВ\ при под-
2. Зак. 6718 17 нимании — по второму. Например, Х'."в = х:: sYse» XWa = = X^sYas- Заметим, что из антисимметрии уАВ taкжe сле-
дует х:::/ = -х:Л.
Очевидно, что фундаментальный спинор преобразуется в соответствии с формулами (1.1) — (1.4):
V =A cA nV
уafbf ixaf ixb' * cdy
откуда при учете его антисимметрии и соотношения (1.3), в частности, находим
Yrr = A-1Yl2, (1.6)
где А = 0е1(АЛ/0) = [0е((А^)]_|. Из (1.6) следует, что при унимодулярных спинорных преобразованиях (А=П билинейная метрическая форма инвариантна ф'х2 — <pxl== = T1 X2—cP2X1'» а фундаментальный спинор сохраняет свое постоянное значение. В этом случае всегда можно положить Yi2== * или
(Y„fl) = (-l ІНО. (1.7)
Отметим, что унимодулярные спинорные преобразования образуют группу, изоморфную двукратному покрытию связной компоненты группы Лоренца (см., например, [33—37]). Таким образом, наряду с тензорными существуют 2-мерные спинорные (двузначные) представления собственной группы Лоренца *>. Однако только спиноры, полностью симметричные по всем индексам без точек и по всем индексам с точками, преобразуются по неприводимым представлениям группы Лоренца (более подробно о полуцелых представлениях группы Лоренца см. [37]).
Обычно в спинорном анализе ограничиваются 6-пара-метрической (три комплексных параметра) группой преобразований [35]. Следуя [36], мы будем рассматривать более широкую (8-параметрическую) группу общих спинорных преобразований, не требуя их унимодулярности. Возможно, это позволит в дальнейшем связать с фундаментальным спинором какое-нибудь физическое поле (в общем случае комплексное).
По отношению к непрерывным преобразованиям Лоренца (локальным) спиноры являются самыми элементар-
С теорией представлений группы Лоренца тесно связан тот факт, что первоначально спинорами назывались только величины типа
и (ср. [33]).
18 ными объектами, из которых (см. § 1.3) могут быть построены как тензоры, так и биспиноры. Интересно, что уже само существование спинорной системы {S} накладывает глобальные ограничения на дифференцируемое многообразие M (локально никаких ограничений не существует). В частности, можно показать, что дифференцируемое многообразие M должно быть не только псевдоримановым, но и ориентируемым. Вопросы, связанные с существованием спинорной структуры у пространства-времени, подробно обсуждаются в [35], где также дана (по-видимому, впервые) наглядная геометрическая интерпретация спинора.
§ 1.2. Биспиноры
Из двух спиноров валентности 1 (но разных типов) хА и срд можно построить новый геометрический объект ^=(0 (1-8)
— биспинор, имеющий четыре независимые комплексные компоненты. Такое определение биспинора представляется наиболее простым (отсутствуют линейные комбинации входящих в него спиноров), поэтому, следуя [36], будем называть его стандартным представлением и всюду, где это не будет оговорено специально, все выражения будем записывать только в стандартном представлении. В полной мере целесообразность введения биспиноров, играющих в теоретической физике фундаментальную роль (интересно, что в физику биспиноры вошли раньше, чем спиноры), раскрывается при дискретных преобразованиях [38].
Учитывая соотношения (1.1) и (1.4), без труда находим закон преобразования для биспинора:
W = SV, 5 = (Aq« A°fl). (1.9)
В дальнейшем, записывая матрицу в таком виде, условимся, что первый индекс (верхний или нижний) обозначает номер строки, а второй — столбца. Для обратного преобразования имеем
