Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Горбацевич А.К. -> "Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения" -> 5

Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.

Горбацевич А.К. Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения — Мн.: Университетское, 1985. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayamehvobsheyteor1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 49 >> Следующая


При построении квантовой механики в неинерциальных системах отсчета и внешних гравитационных полях мы сохраним обычную схему традиционной квантовой механики, т. е. все принципы и уравнения движения в гильбертовом пространстве останутся неизменными, а внешнее гравитационное поле и неинерциальность системы отсчета будут учтены в операторе Гамильтона с помощью введения дополнительных потенциалов. Для нахождения этих потенциалов общековариантное уравнение Дирака будем рассматривать как некоторое специальное (с неортонорми-рованными базисными векторами) координатное представление квантовомеханических уравнений движения в гильбертовом пространстве. Тот факт, что это можно проделать в общем случае, представляется нетривиальным результатом, свидетельствующим в пользу избранного пути. Попутно естественным образом будут решены вопросы, связанные с неэрмитовостью и неоднозначностью оператора Гамильтона.

Заметим, что обращение к уравнению Дирака для нахождения оператора Гамильтона несколько ограничивает область применения развиваемого подхода. Однако квантовые процессы, в которых кроме электронов принимают участие также и другие элементарные частицы, следует, как правило, описывать в рамках квантовой теории поля. Кроме того, здесь имеются большие возможности для дальнейших обобщений. В частности, как было показано Ф. И.Федоровым [20, 21], уравнения Эйнштейна можно представить как матричные уравнения первого порядка, имеющие определенное сходство с уравнением Дирака. Этот факт позволяет надеяться, что полученные результаты могут оказаться полезными при построении квантовой теории гравитационного поля.

В то же время можно привести очень много работ, посвященных поискам точных решений волновых уравнений Клейна — Гордона, Дирака и Вейля во внешних гравитационных полях. Глава 1

СПИНОРЫ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В релятивистское волновое уравнение для электрона со спином, полученное Дираком в 1928 г. [22, 23], вошли новые для физиков величины — спиноры Ч которые никак не удавалось свести ни к векторам, ни к тензорам. Дело в том, что, как теперь известно, именно спиноры являются первичными объектами, из которых могут быть построены тензорные величины. По аналогии с тензорным анализом Б. Ван-дер-Верден' в 1929 г. построил сгшнорный анализ в пространстве 'Минковского [24]. Эта работа была выполнена' по инициативе П. С. Эренфеста, который, кстати, и предложил называть эти новые величины спинорами. Примерно в это же время появились первые работы [25—31], обобщающие уравнение Дирака на риманово пространство, что, естественно, потребовало дальнейшего развития спинорного анализа. Первым шагом в этом направлении стала работа Л. Ин-фельда и Б. Ван-дер-Вердена [32], послужившая толчком для дальнейших исследований.

Поскольку материал этой главы лежит несколько в стороне от основной линии изложения, то нам придется ограничиться весьма узким кругом вопросов, необходимых для активного использования общековариантного уравнения Дирака. При этом мы будем исходить из того,

Ф) Значительно раньше спиноры были изобретены Э. Картаном.

15 что читатель уже знаком со спинорным анализом в пространстве Минковского, например, по ставшим уже классическими монографиям Ю. Б. Румера [33, 34]. Более подробное изложение спинорного анализа в римановом пространстве можно найти в книгах Р. Пенроуза [35] и Э. Шмутцера [36], которых мы в основном и будем придерживаться Ч

§ 1.1. Спинорное поле

Рассмотрим псевдориманово дифференцируемое многообразие М. Потребуем, чтобы в окрестности каждой его точки P(Pi=M) слой S'(P) над P был двумерным комплексным векторным пространством с линейной группой преобразований:

f = A А'в%\ (1.1)

где ЛА'в — комплексная 2Х2-матрица с отличным от нуля детерминантом**); %А и %А'—элементы этого пространства. Дуальное по отношению к S' пространство будем обозначать S. . Его элементы преобразуются по закону

Х^АЛя, (1.2)

где комплексная матрица Аа,в является обратной транспонированной по отношению к Aaв:

= (1.3)

Для символа Кронекера, как и в тензорном анализе, справедливо соотношение

Наряду с комплексными векторными пространствами S' и S. будем также рассматривать и комплексно-сопряженные им пространства, элементы которых преобразуются с помощью комплексно-сопряженных матриц:

ХА' = ЛА'п6, X*= Л А* (1-4)

где, как это принято в спинорном анализе, операция комплексного сопряжения обозначается точкой над ин-

Заметим, что эти книги во многом дополняют друг друга. Так, в первой из них читатель найдет блестящее изложение основ теории (чему во многом способствует использование очень эффектного метода — метода абстрактных индексов, развитого Р. Пенроузом), а во второй — большое количество соотношений, полезных при конкретных вычислениях.

Всюду в дальнейшем прописные латинские индексы принимают значения от 1 до 2.

16 дексом (целесообразность такого обозначения в дальнейшем станет очевидной.—А. Г.). Следуя [35], объект, построенный из тензорных произведений S', дуальных им S. и комплексно-сопряженных им полей, будем называть спинорным полем на M и обозначать посредством {S}. Таким образом, элементами спинорного поля могут
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 49 >> Следующая

Реклама

Тут

Рунетки

chatruletkaz.com

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed