Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
Каждому исходу А первого эксперимента припишем численное значение и(А), а каждому исходу В второго эксперимента — значение V(В). Совместная случайная переменная UV определяется как совокупность всех возможных совместных чисел (и, v) вместе с соответствующей мерой вероятности.
Совместная функция распределения Fuv (и, у) для совместной случайной переменной UV определяется как
F UV (и, f)AProb и (2.3.1)
а совместная плотность распределения puv(u,v)—как
Puv ("- о) A Fuv («, (2.3.2) 24
Глава 1
Здесь частные производные должны рассматриваться либо в обычном смысле, либо в смысле, определяемом свойствами б-функций, в зависимости от того, является ли переменная Fuv непрерывной ИЛИ нет. Плотность распределения Puv (и, v) должна иметь единичный объем, т. е.
+ OO
^ Puv (и, v)dudv = 1. (2.3.3)
— со
Если мы знаем совместные Вероятности всех конкретных событий А н S, то мы можем попытаться определить вероятность того, что конкретное событие А происходит при любых сопровождающих его отдельных событиях В. Основываясь непосредственно на понятии относительных частот, можно показать, что
P(A)= Z Р(А, В)
Все В
и аналогично
P(B)= Z P (Л, В).
Все А
Определенные так величины P(A) и P(B) называются маргинальными вероятностями событий А и В.
Аналогичным образом определяются маргинальные плотности распределения случайных величин VnV для двух случайных экспериментов, а именно:
+ 00
Pu(U)A 5 Puv (и, v)dv,
Z (2.3.4)
Pv (v) А 5 Puv (и, v)du.
— со
Это — плотности распределения одной случайной переменной, когда конкретное значение второй случайной переменной не существенно.
Вероятность наблюдения события В в одном эксперименте при условии, что событие А уже наблюдалось в другом эксперименте, называется условной вероятностью события В относительно события А и записывается в виде P(BfA). Заметим, что относительная частота совместного события (А, В) может быть записана в виде
я _ п m
N m N '
где п — число случаев, когда совместное событие (А, В) имеет место в N испытаниях, тогда как m — число случаев, когда со- Случайные переменные
25
бытие А имеет место в N испытаниях независимо от частного значения В. Но отношение m/N представляет собой маргинальную относительную частоту события А, в то время как п/т есть условная относительная частота исходов В, если событие А произошло. Из сказанного следует, что должна выполняться «формула умножения вероятностей»
P (А, В) = P (A) P (В I А),
откуда
P (В \ A) = P (А, В)/Р {А). (2.3.5)
Аналогично
P(AlB) = P (А, В)/Р (В). (2.3.6) Из выражений (2.3.5), (2.3.6) следует соотношение
Р(В\А) = Щ(2.3.7)
называемое формулой Байеса.
Следуя приведенным выше соображениям, определим условные плотности распределения U и V как
/ ¦ V pUV ("• v> ^11/(°!")=-?-'
/ X (2.3.8)
/іч Puv Puir^)'-a^ST-
Наконец, введем понятие статистической независимости. Две случайные переменные U и V называются статистически независимыми, если знание значения одной из них не влияет на вероятности, связанные с возможными значениями второй. Отсюда следует, что для статистически независимых случайных переменных мы имеем
PKitz(0Iu)aeM0)- (2-3-9>
Отсюда в свою очередь получаем
Puviu' V) = PuPvw (vlu) = Pu(U)pv(v), (2.3.10)
или, в словесной формулировке, совместная плотность распределения двух независимых случайных переменных равна произведению двух маргинальных плотностей распределения1).
§ 4. Статистические средние
Пусть g(u) — функция, которая всякому действительному числу и сопоставляет новое действительное число g(u). Если и —
') Прн более общем подходе два события А и В статистически независимы, если Р(А, В) «= P(A)P(B). 26 Глава 1
значение случайной переменной, то g(u)— тоже значение случайной переменной.
Определим статистическое среднее (среднее значение, математическое ожидание) функции g(u) как
+OO
g (и) = E [ff (U)J Д J g(u)Pu(u)du. (2.4.1)
— оо ,
Если мы имеем дело с дискретной случайной переменной, то выражение для ри(и) имеет вид
Pu (U)=^P Ы б (и- Uk), (2.4.2)
так что
Ё (")=Z P (Uk) g (Uk)- (2.4.3)
k
Если же мы рассматриваем непрерывную случайную переменную, то среднее значение следует определять как интеграл.
А. Моменты случайных переменных
Простейшими средними характеристиками случайной переменной являются ее моменты, которые (если они существуют) получаются подстановкой выражения
g(u) = un
в формулу (2.4.1). Особенно важны первый момент (среднее значение, математическое ожидание)
+ 00
ы— ^ Upu(U) du (2.4.4)
-OO
и второй момент (среднеквадратичное значение)
+ OO
J U2Pu(U) du. (2.4.5)
Часто наибольший интерес представляют флуктуации случайной переменной относительно среднего значения; они характеризуются центральными моментами, которые получаются при
g (и) = (и-й)п. (2.4.6)
Особую роль играет второй центральный момент, который называется дисперсией и определяется как
+ OO
CTa= 5 (и-Ufpu(U) du. (2,4.7) Случайные переменные 27
