Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
Id (А) = (I *.u (0 + /C2U (f + If) |2), (5.1.1)
где Ki и /C2 — действительные числа, определяемые потерями в обоих плечах, а и(/)—аналитическое сигнальное представление света, испускаемого источником. Раскрыв это выражение, находим
/?(/0 = /C?<|u(0l2> + /C2(|u(/+-f-)|2) +
+ KiK2(u [t + -f-) U-(O) + /C1ZC2 (и* (/ +-Tl) U(O) . (5.1.2)
Таким образом, становится очевидной важная роль автокорреляционной функции светового поля, определяющей распределение наблюдаемой интенсивности.
Поскольку усреднение по времени в формуле (5.1.2) играет фундаментальную роль, для соответствующих средних вводятся особые символы. В частности, мы введем обозначения
/о A (IU (0 |2> = (IU (/ + -у-) |2) , (5.1.3)
Г(т) = <и(/ + т)и*(0>. (5.1.4)
Функция Г(т), т. е. автокорреляционная функция аналитического сигнала и(/), называется функцией собственной когерентности оптического сигнала. Пользуясь такими сокращенными обозначениями, запишем для регистрируемой фотоприемником интенсивности выражение
Id = (*? + Kl) Io + W (Ц-) + K1K2T' (-М.) =
= (К? + Kt) I0 + 2/С,/С2 Re { г (-|L) }. (5.1.5)
Во многих случаях удобнее работать с приведенным (нормированным) вариантом функции собственной когерентности, а не с самой функцией собственной когерентности. Заметив, что /0 = Г(0), мы приведем величину Г(т) к этому значению и получим нормированную величину
* W= Twr (5Л-6)
которая называется комплексной степенью когерентности света. Отметим для дальнейшего ее важные свойства:
Y(O)=I, IY(T)Kl (5.1.7) 160
Глава З
[ср. с формулой (3.4.5)]. Интенсивность на фотоприемнике, выраженная через эту величину, имеет вид
+ (5.1.8)
Чтобы получить аналитическое выражение, которое непосредственно описывало бы интерферограмму типа показанной на рис. 5.2, представим комплексную степень когерентности в следующей общей форме:
V (т) = у (т) ехр {- / [2nvx - а (т)] }, (5.1.9)
где у(т) = Iy(t) і> V — центральная частота света и а(т)Д arg{y(T)} + 2nvT. Используя это выражение, предполагая одинаковыми потери в обоих плечах интерферометра (Ki = K2 = К) и замечая, что v/c = l/Х, можно записать выражение для интер-ферограммы в виде
Id (h) = 2K2I0 { 1 + Y -) cos [2л - a (^)] j . (5.1.10)
Выражение (5.1.10) может быть теперь сопоставлено с рис. 5.2, на котором представлена типичная интерферограмма. В окрестности нулевой оптической разности хода (h да 0) мы, согласно формуле (5.17), имеем у(2Л/с) да 1 и а(2Л/с)да0. Таким образом, вблизи начала координат интерферограмма представляет собой полностью модулированную косинусоиду с интенсивностью, колеблющейся в пределах от AK2Io до нуля относительно среднего уровня 2/С2/0. С увеличением оптической разности хода Л амплитуда модуляции y(2h/c) падает от единицы до нуля и, кроме того, интерференционная структура может подвергаться фазовой модуляции а(2h/c), обусловленной формой спектра света.
Для глубины интерференционных полос, наблюдаемых в окрестности произвольной оптической разности хода Л, имеется количественная характеристика — видность интерференционных полос, впервые введенная Майкельсоном. Видность синусоидальной картины полос определяется как
У,А {макс-/мин _ (5.1.11)
'макс T 'мин
где /макс И /мин — интенсивности B максимуме И МИНИМуМе ІІНТЄр-ференционной структуры. При малых смещениях зеркала А, если потери в обоих плечах одинаковы, интерферограмма (5.1.10), как нетрудно убедиться,должна иметь видность
Г</HY(jT)I=Y(jSr)- <5-U2> Когерентность оптических волн
161
Читатель может легко показать, что в случае неравных потерь видность равна
При сильном увеличении оптичес'кой разности хода 2h видность полос убывает и говорят, что относительная когерентность двух лучей уменьшается. Если видность упала почти до нуля, мы говорим, что оптическая разность хода превысила длину когерентности света или, иначе, что относительное время задержки стало больше времени когерентности.
Теперь ясно, что понятие временной когерентности связано со способностью двух световых лучей, обладающих относительной задержкой, создавать интерференционную картину. Заметим, что во всех предыдущих определениях усреднение производится по времени. Если же рассматриваемые случайные процессы являются эргодическимн, то вместо этого можно производить усреднение по ансамблю. Кроме того, в ряде случаев приходится, имея дело с неэргодическимн волновыми полями, проводить только усреднение по ансамблю (гл. 7, § 5, п. Б). В следующем пункте мы более детально исследуем связь между ннтерферограммой и спектральной плотностью мощности светового луча.
В. Связь между ннтерферограммой и спектральной плотностью мощности светового пучка
Как мы видели, форма интерферограммы, возникающей в интерферометре Майкельсона, определяется собственной функцией когерентности Г(т), или, иначе, комплексной степенью когерентности y(t) света, испускаемого источником. Дополнительно к этому нам известно (гл. 3, § 4), что для стационарного случайного процесса существует прямая связь между этими функциями корреляции и спектральной плотностью мощности источника. В частности, из формулы (3.8.34) мы имеем
