Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гудмен Дж. -> "Статистическая оптика" -> 11

Статистическая оптика - Гудмен Дж.

Гудмен Дж. Статистическая оптика — М.: Мир, 1988. — 528 c.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayaoptika1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 60 >> Следующая


Prob [Z є Аг} = Prob [U є Aw}. (2.5.8)

При малых Aw и Az это равенство можно приближенно записать в виде

pz(z)Az ~ Pu(U)AU, (2.5.9)

где u = f~[(z). Кроме того, при малых Au и Аг имеем

du

Au

dz

Аг.

(2.5.10) 34

Глава 1

Подставив (2.5.10) в (2.5.9) и сократив Az, мы получим соотношение, которое становится точным, когда Aw н Az стремятся к нулю:

Pz (г) = Puir1(Z)]

du

dz

(2.5.11)

Так как du/dz ражение

¦¦(dz/du)-

Pz (г)

можно написать эквивалентное вы-Xri(Z)]

_ fuj

dz

du

(2.5.12)

где производная \dz/du\ должна быть выражена через переменную г. По формуле (2.5.11) или (2.5.12) можно легко вычислить функцию pz(z) в любом конкретном случае.

Смысл формулы (2.5.12) таков: производной dz/du функции преобразования определяется то, как плотность распределения в области и переносится на область z. Если \ dz/du | — большая величина, то малая область и отображается на большую область г и поэтому возможные значения редко распределяются в области 2. Если \dz/du\ — малая величина, то на малую область оси 2 отображается большая область оси и и значения z плотно распределяются в этой области.

В качестве примера применения этого метода рассмотрим преобразование

2 = cosw (2.5.13)

и плотность распределения

— при OCus^ji,

I = I я

I О

Pt/(«) = 1 " (2.5.14)

в других случаях.

Это преобразование обратимо в области значений и, при которых величина ри(и) отлична от нуля, причем обратная функция имеет вид

w = arccos2. (2.5.15)

Искомая производная определяется следующим выражением:

и, гаким образом,

du

dz

1

Vb

Pz (Z) = ¦

я

О

du

dz

1

я ^JX-Zi

при

1 <2<1,

(2.5.16)

в других случаях.

На рис. 2.6 представлены график функции ри{и), преобразование Z = cos и и получающаяся плотность распределения pz(z). Случайные переменные

35

Еели функция г = f(u) необратима, но состоит из обратимых отрезков, то может быть использована процедура, которая сводится к рассмотренной вы-

ше. Если на п-м отрезке функция может быть представлена обратимой функцией fn(u), то плотность распределения величины Z можно записать в виде

PuW

Pz (2) =

= Ipc/[" = ^"1 (О

dt~l (z) dz

(2.5.17)

В качестве конкретного примера мы снова возьмем квадратичный закон преобразования г = аи2, который может быть обращен на двух отрезках следующим образом:

I+ -^-приО < ы<оо,

I— д/~2Г ПРИ — °° < и ^ 0.

Для обоих отрезков имеем du

2 Vo

dz

следовательно, Pz (2) ==

¦у (Vf)M-Vf)

2 Vaz

і
7/л
¦ шш Wzy//'/?,
О к

к

а

э» и

PzW

Рнс. 2.6. Графики: а) плотности распределения до преобразования, б) закона преобразования и в) плотности распределения после преобразования.

(2.5.18)

в согласии с формулой (2.5.7).

В. Преобразования многомерных распределений

Рассмотрим две случайные переменные WnZ, подчиняющиеся совместному распределению, которые функционально связаны с двумя исходными случайными переменными UnV соотноше- 36

Глава 1

ниями

W = f (и, v),

, V (2.5.19)

z = g (и, v).

Предположим, что совместная плотность распределения puv(u,v) задана и мы хотим найти совместную плотность распределения

Pwz(W, z).

В большинстве случаев, представляющих интерес, отображение, описываемое системой уравнений (2.5.19), однозначно [т.е. заданная пара [и, v) отображается только на одну пару (w,z)], но не обязательно взаимно и обратимо. По аналогии с выражениями (2.5.2) и (2.5.3) мы м'ожем найти совместную функцию распределения FWz(w,z) и затем продифференцировать ее по W и г. Пусть Awz— область плоскости (и, v), на которой выполняются оба неравенства If < ® и Z < г. Тогда

Fwz (w, г) = Prob {(и, о) є Awz), (2.5.20)

Pwz {w, г) = Prob {{и, v)e=Awz). (2.5.21)

Поскольку этот наиболее общий подход в нашем дальнейшем изложении не потребуется, мы отнесли рассмотрение примера его применения в задачи (см. задачу 2.8).

Если отображения f(u,v) и g(u, v) взаимно однозначны и обратимы, возможен более простой подход. Выразим и и v через W и 2 следующим образом:

u = F(w, z),

г) \ (2-5.22)

v = G(w, z).

Вероятность того, что значения и и v лежат внутри бесконечно малого элемента площади AuAv, равна вероятности того, что w и 2 попадают внутрь элементарной площади AwAz, представляющей собой проекцию элемента площади AuAv, осуществляемую обратным преобразованием. Следовательно,

pwz (w, г) Aw Az = Puv (и, v)AuAv. (2.5.23) Но при малых (Aw, Au) мы имеем

AuAo «|/|Аа>Лг, (2.5.24) где I/| — якобиан обратного преобразования:

1/1 =

д F dF
dw dz
dG dG
dw dz

(2.5.25)

причем двойными вертикальными линиями обозначен модуль детерминанта. Если допускается, что Aw и Ao могут стать сколь Случайные переменные

37

угодно малыми, то приближение (2.5.24) становится сколь угодно хорошим. Подставляя (2.5.24) в (2.5;23) и сокращая па AwAz, получаем в качестве конечного результата

Pwz (о>, z) = I /1 Puv [и = F (W, г), O = G (w, z)]. (2.5.26)

В заключение заметим, что якобиан |/| играет ту же роль, что и производная \du/dz\ в уравнении (2,5.11), описывая изменение плотности распределения в результате преобразования. Пример применения этого результата рассмотрен в следующем параграфе.
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 60 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed