Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ. Физика - Гомонова А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Vo: a=V0la , b = x0 . Во многих случаях удобно вместо (1.6.1)
использовать для описания колебаний эквивалентную формулу
х = Acos((ot + (p0) , (1.6.2)
где А - максимальное смещение тела относительно положения равновесия,
называемое амплитудой колебаний, сог + ср0 - аргумент гармонической
функции, называемый фазой колебаний. Амплитуда и фаза колебаний
однозначно определяют механическое состояние (т.е. координату и скорость)
колеблющегося тела в любой момент времени. Амплитуда А и начальная фаза
колебаний ср0 выражаются через константы а и Ь, следующим образом: А =
4аг+Ьг = Jv02/a 2+х] , ср0 = arctg(-а/ b) = arctg(-K0 / (охх0)). График
зависимости смещения колеблющегося тела от времени изображен на рис.
1.6.1.
82
Механические колебания и волны
Скорость колеблющегося тела равна производной от координаты тела по
времени:
V = х = -y4cosin(co/ + 90) . (1.6.3)
Скорость изменяется по синусоидальному закону с такой же частотой, что и
смещение (рис. 1.6.2). Амплитуда скорости Аа пропорциональна циклической
частоте и амплитуде смещения. Фаза скорости опережает фазу смещения на л
/ 2 . В частности, скорость колеблющегося тела максимальна по абсолютной
величине в момент прохождения телом положения равновесия. При
максимальных смещениях тела от положения равновесия его скорость равна
нулю.
Ускорение колеблющегося тела равно второй производной смещения по
времени:
а-х --Aa2cos((ot + ф0) (1.6.4)
Ускорение изменяется по косинусоидальному закону с той же частотой, что и
смещение (рис. 1.6.2). Амплитуда ускорения А со2 пропорциональна квадрату
циклической частоты и амплитуде смещения. Фаза ускорения отличается от
фазы смещения на % . Это означает, что ускорение колеблющегося тела
всегда направлено к положению его равновесия. Величина ускорения
максимальна при наибольших смещениях тела от положения равновесия.
Свободные колебания. Колебания груза на пружине. Математический маятник.
Периоды их колебаний. Особое место в физике занимает определенный тип
колебательных движений - сво-бодные колебания. Они возможны в случае,
когда в колебательной системе не действуют переменные во времени внешние
силы, или когда работа переменных внешних сил равна нулю. Свободные
колебания возникают в системе, предоставленной самой себе после какого-
либо однократного начального воздействия на нее, приводящего к отклонению
от положения равновесия. При свободных колебаниях в системе всегда
действуют силы, стремящиеся вернуть ее
Определения, понятия и законы
83
в положение равновесия. Если внешние и внутренние силы потенциальны, то
при колебаниях сохраняется механическая энергия. В этом случае свободные
колебания называются незатухающими. Незатухающие свободные колебания в
системе возможны лишь при отсутствии трения и любых других сил
сопротивления. Амплитуда незатухающих колебаний постоянна (не зависит от
времени).
Уравнение движения системы, совершающей свободные гармонические
колебания, всегда может быть приведено к виду:
Множитель, стоящий перед координатой в уравнении вида; (1.6.5),
представляет собой квадрат циклической частоты свободных колебаний.
Важным примером колебательной системы является груз, подвешенный на
пружине. Такая система способна совершать гармонические колебания, если
сила упругости пружины пропорциональна величине смещения груза
относительно положения равновесия, т.е. если сила упругости подчиняется
закону Гука. Циклическая частота и период свободных колебаний груза,
подвешенного на пружине, определяются формулами:
Здесь т - масса груза, к - коэффициент упругости пружины.
Математический маятник представляет собой идеализированную модель
колебательной системы: материальную точку, подвешенную на невесомой
нерастяжимой нити и находящуюся в поле силы тяжести.. Движения маятника
происходят под действием силы тяжести и силы натяжения нити. Циклическая
частота и период колебаний при малых углах отклонения маятника от
вертикали даются выражениями
х + (йгх = 0 .
(1.6.5)
(1.6.6)
84
Механические колебания и волны
где I ~ длина нити, g - ускорение свободного падения.
Превращения энергии при гармонических колебаниях. При
свободных гармонических колебаниях полная механическая энергия
колебательной системы остается постоянной. Однако она периодически меняет
свою форму, превращаясь из кинетической энергии в потенциальную и
обратно. Этот процесс повторяется дважды на каждом периоде колебания.
Кинетическая энергия достигает максимума в моменты прохождения системой
положения равновесия. Потенциальная энергия, напротив, максимальна в
моменты наибольших отклонений колеблющегося тела от положения равновесия,
т.е. в моменты времени, когда скорость движения обращается в нуль.
Полная энергия гармонических колебаний пружинного маятника
пропорциональна квадрату амплитуды колебаний А:
2 2
Для математического маятника, колеблющегося с угловой амплитудой а0 ,
полная энергия
С- т \ mglo-l тоз212а1
E = mgl(l-cosa0) = -^-2- =---- -. (1.6.9)
