Физика. Примеры решения задач, теория - Гомонова А.И.
Скачать (прямая ссылка):
образом,
Задача V.11 Однородная балка массой М и длиной I подвешена на концах двух
пружин жесткостью к, и к2 соответственно. Обе пружины в не-нагруженном
состоянии имеют одинаковую длину. На каком расстоянии х от левого конца
балки надо подвесить груз массой т, чтобы балка приняла горизонтальное
положение (рис. V.11)?
ftp ____
~м~Тг'
* i тр _ *4
ИЛИ
I
В
m___________________ if Mg
Jmg
Рис. V.11
177
Решение. Для того чтобы балка находилась в горизонтальном положении,
удлинения обеих пружин должны быть одинаковыми, т. е. Axj = Ах2 = Ах. На
балку действуют четыре силы, указанные на рисунке: силы тяжести mg и Mg и
силы натяжения пружин F и F . Поскольку все силы действуют по вертикали,
запишем первое условие равновесия для балки вдоль вертикального
направления
mg + Mg - Fj - F2 = 0, или
mg + Mg = (fcj + fc2)Ax .
(m + M)g
Отсюда Ax = ------------. Таким образом,
К + к
г _ kl(m + M)g F _ k2(m + M)g 1 + k2 ' 2 kx + k2
Для определения расстояния x запишем момент сил относительно оси,
проходящей через точку закрепления левой пружины А (второе условие
равновесия балки),
1
mgx + Mg------F2l = 0.
2
Из этого соотношения следует
_ F'J ~ Mg У2 _ k2(m + M)gl Mgl _ I Ik2(m + M) M\ mg mg{K + k2) 2mg
my kx+k2 2 j'
Задача V.12 Две невесомые пружины с коэффициентом жесткости /с, и к2
соединяют один раз
178
Ш1/
последовательно, другой раз параллельно (рис. V.12). Какой должна быть
жесткость пружины, которой можно было бы заменить эту систему из двух
пружин?
Решение. При последовательном соединении пружин растягивающие их силы
одинаковы и равны
силе F, с которой растягивают систему пружин (в
нашей задаче F = mg )•
Общее удлинение системы равно сумме удлинений каждой пружины, т. е.
Ах - AXj + Дх2. (1)
Поскольку по закону Гука Ах
к'
TO
JL
V
L
к
JL JL
ъ + ъ > откуда к
iV]
^ . Подставляя соответствующие выражения для Ах в формулу (1), получим
кхк2
ч ""2 кх + к2
При параллельном соединении у обеих пружин одинаковые удлинения, т. е. Ах
= Axt = Дх2, а растягивающая их сила F должна равняться сумме двух сил
натяжения пружин, т. е. F = + Fr Вновь
воспользовавшись законом Гука для каждой из пружин, получим
179
кАх = kYAx + к2Ах, или 7с = к, + к2.
Задача V.13 Однородная лестница опирается на абсолютно гладкие пол и
стену (рис. V.13). Каким должно быть натяжение веревки Т, привязанной к
середине лестницы, чтобы удержать ее от падения?
Решение. На лестницу действуют четыре силы: сила ' тяжести mg, силы
реакции опоры 7V, и 7V, и сила натяжения Т (см. рис.). Если ось вращения
провести через точку А, то задача очень упростится, поскольку три силы
(Т, Nj и N2) будут проходить через ось и их моменты относительно этой оси
равны нулю. Останется только один момент силы тяжести mg, который ничем
не компенсируется, поэтому лестница обязательно упадет, какой бы по
величине ни была сила Т.
Эта задача наглядно показывает, как важно правильно выбрать ось вращения
для того, чтобы облегчить решение задачи.
Если силу Т направить не в точку 0, а правее линии ОА, то лестница
обязательно упадет, так
как момент силы Т будет направлен в ту же сторону, что и момент силы
тяжести mg. Если же
180
силу Т направить левее линии О А, то момент
силы Т направлен в сторону, противоположную моменту силы тяжести. В этом
случае лестницу можно удержать от падения.
Задача V.14 Тяжелый однородный стержень массой М упирается одним концом в
угол между стеной и полом под углом а к горизонту. К другому концу
привязан канат под углом р = 90° (рис.
V.14). Определить силу натяжения каната и направление силы реакции опоры
со стороны стенки и пола.
Решение. На стержень действуют три силы: сила тяжести Mg, сила натяжения
нити Т и реакция опо--ры со стороны стены и
пола N, приложенная к стержню в точке 0. Так как ни направление, ни
величина силы N не известны, то за ось вращения удобно выбрать ось,
проходящую через
точку 0 и перпендикулярную плоскости чертежа. В этом случае условие
равновесия для моментов сил запишется
I Mg
Mg - cos а - IT = 0, или Т = -- cos а.
6 2 2
181
С увеличением угла а натяжение нити уменьшается. Для определения
направления силы реакции N вспомним важное положение: если момент сил
относительно какой-нибудь оси равен нулю, то это справедливо и для любой
другой оси. Поэтому выберем ось, проходящую через точку пересечения линии
действия силы тяжести Mg и натяжения нити Т (точка А на рисунке). Сила
реакции опоры N обязательно должна проходить через эту точку, так как
только в этом случае сумма моментов всех действующих сил будет равна
нулю. (В этом случае плечи всех действующих сил обращаются в нуль.)
Задача V.15 К совершенно гладкой вертикальной стенке приставлена
однородная лестница массой М, образующая с горизонтальной опорой угол а
(рис. V.15). Определить силы, действующие на лестницу со стороны стенки и
опоры. Построением определить направление силы, действующей на лестницу
со стороны опоры.
Решение. На лестницу действуют четьфе силы: силы реакции опоры iV1 и N2,
