Физика. Примеры решения задач, теория - Гомонова А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Нарушится ли равновесие, если человек, стоящий на чаше
весов, начнет тянуть за веревку с силой F под углом а к вертикали? Длина
коромысла весов 21.
Решение. На точку В коромысла весов действует вес тела Р, приложенный к
правой чаше весов. Он равен по величине силе реакции опоры N, но
направлен в противоположную сторону. Когда человек стоит спокойно на
чаше, то Р = N = mg, когда же человек тянет за веревку, то Р = N = mg - F
cos а (см. рис.). Поэтому мо-
А
С
В
Рис. V.7
mg
171
мент силы, созданный весом тела, в первом случае будет равен MY = mgl, а
во втором случае
М2 = (mg - F cos а)1. Кроме того, сила F, приложенная в точке С, также
создает свой момент
1
М.. = F cos а • -.
2
Таким образом, когда человек стоит спокойно (не тянет веревку), на правую
часть коромысла АВ действует момент силы MY = mgl, уравновешенный
моментом сил, действующих на левую часть коромысла. Когда же человек
тянет за веревку с силой F, на правую часть коромысла действует момент
сил равный
, ч, I , Flcosa
М = М2 + М3 = (mg - F cos a)l + F cos a • - = mgl--.
Этот момент сил меньше момента силы тяжести (М, ) груза т , т. е.
FI
mgl > mgl------cos а,
2
поэтому равновесие нарушится, левая чаша весов перетянет.
Задача V.8 С помощью показанной на рис. V.8 системы невесомых блоков
хотят поднять бревно
длиной I и массой М. Какую силу F нужно приложить к концу каната А? Как
нужно прикрепить концы каната В и С, чтобы бревно при подъеме было
горизонтально? Нити невесомы.
X
и
h
ГГ)
в
с
/.¦с
- Решение. Так как нить неве- /У /
сома, то натяжение каната Т, привязанного к точке С, равно силе F. На
бревно действуют три силы: сила тяжести Mg и
силы натяжения Tj и Т (см. рис.).
Для того чтобы бревно находилось в равновесии,
Т, + Т + Mg = 0 •
Записав этот закон в проекции на вертикальное направление, получим
T1+T-Mg = 0. (1)
Силу натяжения Т можно определить из второго закона Ньютона, записанного
для правого блока. Действительно,
Т, - F - Т = О, или Ту, = F + Т = 2F. Подставив значение силы Т, в
уравнение (1), получим
2F + F ~Mg = 0, или 3F = Mg .
Mg
Таким образом F =------. Следовательно, для подъе-
3
ма бревна нужно в такой системе приложить силу F в 3 раза меньшую, чем
его сила тяжести. Для равновесия бревна еще необходимо, чтобы сумма
моментов относительно какой-либо оси вращения была равна нулю. Выберем
ось, проходящую через центр тяжести бревна. В этом случае
ТЛ - Т12 = о,
Mg Рис. V.8
(2)
где Ij и l2 - расстояния точек В и С соответственно от центра тяжести
бревна, тогда
И=Д = 2? = 2
Т I, F
Если расстояние между точками В и С равно I,
то I. + L = I, а - = 2.
i
Решая эту систему, получим
При этом условии точка приложения результирующей сил натяжения Тх - 2 F и
T-F совпадает с центром тяжести и бревно будет подниматься, оставаясь
горизонтальным.
Задача V.9 Две тонкие и однородные палочки массой Мига образуют систему,
изображенную на рис. V.9. Палочки могут вращаться вокруг осей, проходящих
через точки А и Б. Верхние концы палочек лежат один на другом под прямым
углом. При каком минимальном значении коэффициента трения между палочками
правая палочка не упадет? Угол а задан.
Решение. Силы, действующие на верхние концы палочек, изображены на рис.
V.9: f - силы
трения, N - силы реакции опоры со стороны каждой палочки. На нижние концы
палочек в точках А и В действуют силы со стороны шарниров, однако их
направление нам пока неизвестно. Имен-
174
Рис. V.9
но поэтому удобно оси вращения для моментов сил выбрать в точках А и В,
проходящих через нижние концы палочек. Тогда уравнения моментов для обоих
палочек запишется
Mg - cos а - Nlx = 0 , или N = cos а ;
2 2
I? ¦ п , mg .
mg - sin а = fl2, или / =------sin а,
2 2
где 1Х и 12 - длины левой и правой палочки соответственно.
Так как палочки покоятся, то сила трения / - сила трения покоя, поэтому f
< /и N. Минимальное значение коэффициента трения у,, при котором палочки
находятся в равновесии, равен
/ ш А и = - = - tg а.
N М
175
Задача V.10 На земле лежат вплотную два одинаковых бревна цилиндрической
формы. Сверху кладут такое же бревно. При каком коэффициенте трения между
ними они раскатятся [рис. V.10)? (По земле бревна не скользят.)
Решение. Рассмотрим левое нижнее бревно. На каждое бревно действуют пять
сил:
сила тяжести Mg, сила
давления N, сила реакции опоры со стороны
Земли R, сила трения / со стороны верхнего бревна и сила трения FTp со
стороны
Земли. Полагаем, что нижние бревна лежат вплотную, но не касаются. Второй
закон Ньютона для каждого бревна имеет вид
Mg + N + R + FTp + /тр = 0 .
Запишем условие для моментов сил относительно оси вращения, проходящей
через точку А. Тогда момент силы тяжести Mg, момент силы R
и момент силы трения FTp обратятся в нуль, поэтому условие для моментов
запишется
^1-/^2 = О,
где Zj и 12 плечи соответствующих сил (см. рис.), причем
176
= R sin -; l2 = R + R cos a ,
2
где a = 60° - угол при вершине равностороннего треугольника 0,002. Таким
