Физика. Примеры решения задач, теория - Гомонова А.И.
Скачать (прямая ссылка):
сообщает ей центростремительное ускорение ап, т. е. второй закон Ньютона
вдоль радиуса имеет вид
Gm,Mc 2 ^
~~2 - тзап ~ т30) R3C.
^з.с
Следовательно, масса Солнца равна Мс = -Кз?- = 2• Ю30 кг = 2¦ 1027 т.
Задача IV.18 Радиус Луны в п=3,7 раза меньше радиуса Земли, а ее масса в
т=81 раз меньше массы Земли. Определить ускорение свободного падения на
поверхности Луны.
Решение. Для поверхности Земли можно записать
GmM3 _ GM3
= -р2 -> или g0 =
К ои К
Очевидно, аналогичное соотношение выполняется и для поверхности Луны, т.
е.
GM"
Ел
К
Если поделить одно уравнение на другое, то получим
J-JL = МзК
?л R23m
154
Отсюда
/ Г? \2 // П/Г \
= ?о -Г = 1)65 м/с2.
п2
га2
Задача IV.19 Какой период вращения Т имел бы искусственный спутник Земли,
удаленный от нее на расстояние h. Радиус Земли R3 и ускорение свободного
падения на Земле g0 считать известными.
Решение. На спутник действует сила гравитации F, которая сообщает ему
центростремительное ускорение ап, т. е.
GmcMr, mcv2
с 3 - тга" = с
L. 71
(К3 + h)
R3 + h'
Таким образом, спутник вращается вокруг Земли со скоростью
GM3 v = 1 3
, R3 ^
Так как на поверхности Земли для тела массой т можно записать
(tm)g0 =
GmM3
К
то отсюда легко определить произведение GMS = g0Rl¦ Величины g0 и R3,
стоящие в правой части уравнения, мы знаем. Тогда скорость вращения
спутника вокруг Земли будет иметь вид
155
u= Uo^3_ = R 3 U
A) R3 + h V R3 + h
Период вращения спутника
2л v
Т = - , где (о =
О)
R3 + h
Следовательно,
7t(R3 + ti) 2 л
В-зу/ So
2 л{Я3 + h) 2;r(R3 + h)
v
Задача IV.20 Вычислить силу тяготения, действующую на материальную точку
массой га, находящуюся внутри Земли на расстоянии г от центра. Радиус
Земли - R3. Плотность Земли р считать постоянной (рис. IV.18).
АТПу
156
Рис. IV.18
Решение. Поместим тело массой т внутри Земли в произвольной точке А.
Мысленно разобьем Землю на тонкие шаровые слои толщиной А г
(Аг <<< R3) и рассмотрим один из них. Проведем конус с малым углом
раствора через выбранную точку А (см. рис.). Конус вырежет из шарового
слоя массы Ат1 и Ат2. Тогда на точечное тело массой т действуют две силы
притяжения со стороны Amj и Ат2, т. е.
_ GmAm, GmAm2
1 ~ 2 И 2 - 2 '
Г1 Г2
причем Am, = рб^Аг и Ат2 = р^Аг, где Аг - толщина тонкого сферического
слоя, Sx и ?2 - вырезанные конусом площадки этих слоев. Подставив
выражение для Ат{, получим
_ GmpSAr
Fj =-^- = GrapAra и
ri
GmpS2Ar _ .
F2 =----*-r-2- = GmpAra,
**2
где a - телесный угол, по определению равный
^2 m . Я
- = -. Таким образом, - = 1.
Г1 Г2 Р2
Силы притяжения со стороны масс Amj и Ат2 равны по величине и
противоположны по направлению, а это значит, что результирующая сила,
действующая на тело массой т, равна нулю. Так как точку А можно выбрать
произвольным обра-
157
зом, то очевидно, что результирующая сила притяжения, действующая со
стороны всего внешнего слоя толщиной Дг, равна нулю. Поэтому на
материальную точку, помещенную на некотором расстоянии г от центра,
внутри Земли действует только сила притяжения массы Земли, находящейся
внутри сферы радиуса г (Мг). Таким обра-
т. е. сила притяжения, действующая на материальную точку массой т,
помещенную внутрь Земли, линейно зависит от расстояния г.
График зависимости силы гравитации от расстояния г имеет вид, показанный
на рисунке IV.19.
Задача IV.21 Ракете, находящейся на поверхности Земли, сообщена
вертикальная скорость
г>0 =6 км/с. Считая, что сопротивление воздуха отсутствует, найти
максимальную высоту подъема ракеты. Радиус Земли R3 = 6400 км .
Решение. На ракету действует только сила тяжести. Для системы: ракета -
Земля, она является внутренней и консервативной силой, поэтому можем
применить закон сохранения механической энергии, т. е. АЕк + АЕа = 0
зом,
_ GMrm _ GpVrm _ Gp%nr3m _ GM3 %
rp ~ "2 ~ "2 ~ "2 тr
jtvm
GM.3 % nrm _ GM3rm _ g0R23rm _ mg0r
158
А,
Рис. TV.19
или -^~L-(EKn-En0) = 0 и 2
где ?кп - конечная потенциальная энергия ракеты на высоте максимального
подъема Я, а Еп0 - начальная потенциальная энергия ракеты на поверхности
Земли. Воспользовавшись формулой (1), nIV.3, запишем
mv
о _
= Епй-Е&а,
mv
о _
= mgR0 --
н =
R R + H)'°TK^a (б • 10s м/с)2 • 6400 • 103 м
= 2500 км.
2gK ~vo 2 • 10 м/с- 6400 • 103 м- (б • 103 м/с)
Следует отметить, что в этой задаче нельзя пользоваться формулой для
максимальной высо-
v2
ты подъема, полученной из кинематики, Я =
159
так как на больших расстояниях от поверхности Земли, сравнимых с ее
радиусом, сила тяжести и ускорение g не являются постоянной величиной, а
изменяются с высотой. Действительно,
Задача IV.22 Какую работу нужно совершить, чтобы запустить спутник массой
т по круговой орбите на высоту Я = 3200 км?
Решение. Тело, находящееся в гравитационном поле Земли, обладает
потенциальной энергией, которую можно отсчитывать либо от центра Земли,
либо от какого-нибудь другого уровня (nIV.3). В математическом отношении
наиболее удобно за
начальный уровень отсчета взять г0 -* °° (расстояние г отсчитывается от
