Физика. Примеры решения задач, теория - Гомонова А.И.
Скачать (прямая ссылка):
с угловой скоростью о. Внутри сферы находится шарик массой т. Определить
высоту h, соответствующую положению равновесия шарика относительно сферы.
Исследовать положение равновесия на устойчи-
Решение. На шарик действуют две силы: сила тяжести mg и сила реакции
опоры N. Эти силы сообщают шарику нормальное ускорение ап, заставляя
шарик двигаться по окружности радиуса
г = R sin а •
Запишем второй закон Ньютона в проекции на оси ОХ и 0Y N sin а = тап =
то)2г = ma)2R sin а; (1)
N cos а - mg = 0. (2)
Решая эту систему уравнений, получим
g tg а = o)2R sin а,
или sina(<y2R-------1 = 0. (3)
\ cos а )
Это уравнение имеет два решения:
а) sin а = 0 (Сокращать на sin а нельзя, т.к. потеряется одно
решение!);
g
б) cos а = ^ - - это положение равновесия
вость (рис. TV.15).
Рис. IV. 15
148
возможно лишь при условии, что
--- < 1, ИЛИ (О >
(02R
Причем, это положение равновесия является устойчивым. Действительно, если
шарик чуть-чуть опустить вниз (угол а уменьшить), то cos а увеличивается
и тогда вертикальная составляющая реакции опоры N cos а > mg, формула
(2), и шарик поднимется (т. е. вернется в положение равновесия. Если же
шарик поднять чуть вверх (угол а увеличить), то cos а уменьшится и N cos
а < mg, т. е. шарик опустится в положение равновесия. Высота h в этом
положении равна
Решение sin а = 0 (а=0) возможно при любой
шение неустойчивое (см. формулу (3)), если же
Задача IV.16 Определить зависимость веса тела Р от географической широты,
полагая известными угловую скорость вращени Земли о и ее радиус R.
Решение. Пусть тело находится на поверхности Земли на широте,
определяемой углом <р (рис.
IV.16). При вращении Земли тело массой т дви-
2 Л
скорости вращения о. Однако, если (о > -, ре-
149
жется по окружности радиуса г. На него действуют три силы: сила тяжести
mg, сила реакции опоры N и сила трения покоя /. Выберем направление осей,
как показано на рисунке, и запишем второй закон Ньютона вдоль этих осей:
та)1 г
mo)zR cos <р]
mg cos <р - N cos <р + f sin <p = та
- mg sin ip + N sin <p + f cos ip = 0,
т. e. тело вдоль оси ОУ не перемещается.
Решая эту систему, получим
N = mg - ma)2R cos2 <р;
/ = ma)2R sin2 ф-Вес тела Р по величине равен силе реакции опоры N и
направлен в противоположную сторону.
Таким образом, вес тела зависит от географической широты и определяется
формулой
Р = N = mg - ma>2R cos2 <р ¦
Из этой формулы видно, что на Северном полюсе ((р = 90°) вес тела равен
силе тяжести mg, а на
экваторе ((р = 0°) вес тела равен
N = mg - mo)2R ¦
В некоторых учебниках вместо силы трения покоя / и силы реакции опоры N
рассматривают
150
силу Q, действующую на тело массой т со стороны Земли. Эта сила равна Q =
+ N2-
Порой у учащихся вызывает недоумение введение силы трения покоя /. Нужно
ли ее вводить? Дело в том, что если не рассматривать
силу /, то N + mg = 0, и возникает вопрос: а какая же сила сообщает
покоящемуся на Земле телу нормальное ускорение ап, с которым оно движется
вокруг земной оси.
§ 2. Закон всемирного тяготения
nIV.l Любые два точечных тела притягиваются с силой, пропорциональной их
массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Сила
направлена вдоль прямой, соединяющей эти точечные тела.
F = Gm,m2
г2
где G - гравитационная постоянная, равная G = 6,67 • НГ11 м3/кг с2.
nIV.2 Ускорение свободного падения у повер-_ GM3
хности Земли So ~ ¦ Отсюда GM3 = g0Rl-
.3
Ускорение свободного падения зависит от расстояния от Земли
151
nIV.3 Тело, находящееся в поле Земли, обладает потенциальной энергией.
Начальный уровень отсчета потенциальной энергии можно взять любой,
поскольку изменение потенциальной энергии не зависит от выбора этого
уровня.
Так как сила гравитации зависит от расстоя-
силу гравитации можно считать постоянной (рис. IV. 17). Тогда полная
работа на участке г0 - г равна
Если Дг -" 0, то предел, к которому стремится эта сумма, определяется
ния и, строго говоря, не является постоянной, то формулу для работы
А = F Аг ппиме-
приме-
Рис. IV. 17
г
нять нельзя. Однако работу можно посчитать графически. Для этого ра-
зобьем участок г0 - г на очень малые отрезки, в пределах которых
152
где г0 и г - расстояния, отсчитываемые от центра Земли В частности, если
за начало отсчета выбрать поверхность Земли (r0 = R3), а г = R3 +h, то
изменение потенциальной энергии определится
(tm) I 1 О GM3mh 3Лдз + h K3j" K3(R3+h)'
Для h << R3 это уравнение запишется
gnRlmh
АЕп = ---= .
К3
Однако часто начальный уровень отсчета выбирается в бесконечности, т. е.
(г" -" оо )( тогда
(tm) 11 О GM3m
АЕЛ = -GM3m\------------------- = -F г. (2)
го) г
Из формулы видно, что эта энергия отрицательная. Поскольку начальный
уровень отсчета находится в бесконечности (г0 -" оо)( то тело лежит
"ниже" нулевого уровня отсчета.
Задача IV.17 Угловая скорость вращения Земли вокруг Солнца со = 1,75 •
10~2 рад/сут. Расстоя-
ние от Солнца R3C = 1,5 • 10й м . Определить массу Солнца.
Решение. На Землю со стороны Солнца действует сила гравитации, которая и
