Физика. Примеры решения задач, теория - Гомонова А.И.
Скачать (прямая ссылка):
энергии, поскольку сила тяжести и сила натяжения стержня для системы тел:
Земля - массы, явля- А А,
ются внутренними. '-f Поэтому можно \
записать q jl г>2 O'
Ек1+Еа1=Ек2+Еа2.
За начало отсчета pwc jy 11
потенциальной
энергии выбираем положение 00'. Для тела мас-
141
•I
/
\
сой 2то закон сохранения механической энергии имеет вид
2mv2 п т
-----L = 2 mgl.
Отсюда Uj = yj2gl.
Для шариков с массами то
( v0
Ч- mg - = mgl Ч- mgl, или 2
\v^= > T- e- vt
За начало отсчета потенциальной энергии можно было бы выбрать и положение
А А'. Тогда для шарика массой 2то закон сохранения запишется
2mv2 Л г--
- 2mgl Ч-------= 0 , или Uj = y]2gl,
2
а для шариков массами то
mv2, I т (vP\2
- mgl Ч----- - mg - Ч----- = 0 , или
v2 = ^2,4 gl.
Таким образом, мы показали, что решение задачи не зависит от выбора
начального уровня отсчета потенциальной энергии. Следует еще отметить,
что шарики массами то связаны единым стержнем и в любой момент времени
будут иметь одинаковую угловую скорость <о, поэтому закон сохранения
механической энергии можно записать
142
только для двух шариков вместе. Линейные скорости каждого шарика
определяются формулой v = (or, поэтому линейная скорость верхнего шарика
в 2 раза меньше линейной скорости нижнего.
Задача IV.12 Тело соскальзывает из точки А в точку В по двум поверхностям
с одинаковой кривизной: выпуклой и вогнутой. Коэффициент трения один и
тот же. В каком случае скорость тела в точке В больше (рис. IV.12)?
Решение. В каждой точке траекто- А_, рии на тело действуют три силы:
сила тяжести mg,
реакция опоры N
и сила трения / .
Второй закон Ньютона для обоих случаев вдоль радиуса запишется
2 2 TfW THV
mg cos a - N2 = -2 или N2 = mg cos a - -2
Рис. IV.12
R
R
mg cos a - iVj = -
или iVj : mg cos a +
me
R 1 R
Таким образом, при движении тела по выпуклой поверхности реакция опоры
jV2 будет меньше, чем
при движении тела по вогнутой поверхности jy . А это значит, что сила
трения, действующая на
143
тело в каждой точке траектории и равная fiN, при движении по выпуклой
поверхности будет меньше.
Закон изменения механической энергии запишется
АЕ + АЕ = Л •
К * Жтр )
mvl
- mgh + -- = Атр, или
2
TWO
-~Y~ = mgh + Атр = mgh - fTpS = mgh - uNS.
Из этого соотношения следует, что в точке В скорость тела будет больше в
том случае, когда работа, затраченная на преодоление сил трения, меньше.
Поскольку сила трения при движении по
выпуклой поверхности N2 меньше, чем N1, то скорость в точке В будет
больше при движении тела по выпуклой поверхности.
Задача IV.13 Определить кинетическую энергию обруча массой М, движущегося
с постоянной скоростью г>0 без проскальзывания (рис. TV.13).
Решение. Разобьем весь обруч на малые участки массой Дга каждый. Любой
такой участок участвует в двух движениях: поступательном со скоростью г>"
(скорость движения центра обруча) и вращательном со скоростью vn = coR
(линейная скорость каждой точки обруча). В отсутствие про-
скальзывания О) - -- поэтому vn = v0.
R
144
VB
Рис. IV.13
Рассмотрим два диаметрально противоположных участка А и Б. Их
результирующие скорости равны векторной сумме скоростей поступательного и
вращательного движений, т. е. v = v0 + vJ!, тогда
V1 = vl + гг* - 2гг0ил cos ";
vb = vo + vl + 2и0ил cos a.
Суммарная кинетическая энергия обоих участков равна
Amvl Amvl , д г
к а, в = -2- + -^ + Дтил =
= Дт(г>2 + o)zRzy
Так как это выражение справедливо для любых двух симметричных участков,
то для всего обруча можно записать
145
т. е. энергия всего обруча состоит из кинетической
энергии поступательного движения Епост =
обруч катится без проскальзывания, т.е. Vji=v0=o)R, полная кинетическая
энергия обруча равна
Задача IV.14 На тонкой нити подвешен шарик. Нить приводят в
горизонтальное положение и отпускают. В каких точках траектории ускорение
шарика направлено строго вертикально и строго горизонтально? В начальный
момент нить не растянута (рис. TV. 14).
и вращательного Евр =--------. Учитывая, что
С,
О
А
Решение. Из второго закона Ньюто-
g'
видно, что ускорение тела совпадает с направлением результирующей силы.
Поэтому ускорение вертикально вниз направлено в крайних верхних точках
В
' <mg
mg
mg
Рис. IV.14
146
А и С (нить не растянута), вертикально вверх в точке В, а горизонтально в
точках D и Е, положение которых определяется некоторым углом а0 (см.
рис.). Этот угол можно определить, записав второй закон Ньютона вдоль
направления радиуса и по вертикали, соответственно
Выражение для скорости можно определить из закона сохранения механической
энергии.
Если начальный уровень отсчета потенциальной энергии выбрать в точке D,
то
вим это выражение для скорости в уравнение (1), получим
Отсюда cosa0 = . Это значение cosa0 соответ-
mv
г
Т - mg cos а0 = man = --
Т cos а0 - mg = 0. Решая систему уравнений, получим
(1)
I
cosa0
mgh = mgl cos a0 =---------или vz = 2glcosa0. Подста-
cosa0
ствует углу a0 = 54°45'.
147
Задача IV.15 Сфера радиусом R равномерно: вращается вокруг оси симметрии
