Физика. Примеры решения задач, теория - Гомонова А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Выберем за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии уровень 00',
тогда ?мех1 = Ек1) а Емех2 = Еп2> т- е- кинетическая энергия, которую
135
имел шарик, проходя вертикальное положение, должна равняться
потенциальной энергии в точке максимального подъема шарика
mv2 " " v2
= mgH, или Я =
2 2^
Поскольку из рисунка очевидно, что Н = I - I cosa = 1(1 - cosa) , то
максимальный угол отклонения определится из этой формулы:
г-н
cos (х max = -j-, Где I - длина нити.
Для определения высоты Н необходимо знать скорость шарика при прохождении
положения равновесия. Это легко сделать, записав второй закон Ньютона
вдоль оси ОХ в момент прохождения шариком положения равновесия (см.
рис.),
mv2 г (T-mg)l
Т - mg = man = ---, или v = -----------.
I m
Подставив это выражение в формулу, определяющую максимальный угол
отклонения шарика, получим
, Я , Т - mg 1
cos cr =1------= 1--------- = -
I 2 mg 2 •
Таким образом, шарик поднимется на угол "гаах=6(Г.
Задача IV.9 Небольшое тело соскальзывает без трения с вершины полусферы
радиуса R. С какой
136
Рис. IV.9
скоростью и и на какой высоте Н тело оторвется от поверхности полусферы
(рис. IV.9)?
Решение. На тело действуют две силы: сила тяжести и сила реакции опоры.
Второй закон Ньютона в векторной записи имеет вид
N + mg = та •
Следует отметить, что ускорение а - это полное ускорение тела, оно
направлено в ту же сторону, что и результирующая сила Fp) равная
Fp = JV + mg. Поскольку полное ускорение а равно а = ап + ах) то оно
лежит внутри прямого угла между векторами ап и ат, поэтому и
результирующая сила Fp должна быть сонаправлена с этим
ускорением. Запишем второй закон Ньютона вдоль оси ОХ, направленной вдоль
радиуса,
mg cos а - N = тап =
mv2
R
Посмотрим внимательно на это соотношение. При соскальзывании тела его
скорость увеличивается. Это может произойти только тогда, когда
137
N уменьшается более сильно, чем mg cos а. Поэтому наступит такой момент,
когда N обратится в нуль. Это означает, что тело оторвется от поверхности
сферы и дальше полетит по параболе. В этот момент времени второй закон
Ньютона будет иметь вид
mv2
mg cos а =------. (1)
R
Высота Я, с которой оторвется тело, определяется (см. рис.)
Н = R cos а ¦ (2)
Подставив выражение для cos а в уравнение (1), получим
Я mv2 v2 , ч
mg- ~ -z- , или Я = -. (3)
R R g
Задача была бы решена, если бы мы смогли определить скорость в момент
отрыва тела от сферы. Это легко сделать, воспользовавшись законом
сохранения механической энергии,
mv2 9 / \
mgR =--------mgH , или v = 2g(R - Я).
2
Подставим это выражение в уравнение (3), тогда
2g(R - Я) тт 2R
Я = ----------, или Я =-----.
g 3
2
При этом cos а в момент отрыва равен cos а = -.
3
Таким образом, тело оторвется от поверхности 138
на высоте Н - - R} а его скорость в момент от-
О
рыва равна
v' = 2g(R - Н) = 2(/к -1 к) = |гн,
2*'R
ИЛИ V = J------.
V 3
Как видно, ни высота Я, ни скорость v не зависят от массы т, поэтому тело
любой массы оторвется от поверхности на одинаковой высоте и с одинаковой
скоростью.
Задача IV.10 Шайба массой т скользит без трения по наклонному желобу,
образующему "мертвую петлю" радиусом R. На какой высоте h шайба оторвется
от желоба и до какой наибольшей высоты Я после этого поднимется, если она
начала спускаться по желобу без начальной скорости с высоты hj = 2R {рис.
IV. 10)?
Решение. На шайбу действуют две силы: сила тяжести mg и сила реакции
опоры N. Обе силы являются внутренними для системы тел: шайба - Земля.
Поэтому можно в любой момент времени записать закон сохранения
механической энергии. Запишем его в тот момент, когда тело находится в
точке максимального подъема Я, тогда
, ТТ mvi
mgh! = mgH + --.
В точке максимального подъема А у тела будет
139
только горизонтальная скорость vt, направленная по касательной к
траектории. Отсюда
Таким образом, задача сводится к определению горизонтальной скорости vT в
точке максимального подъема. Эта скорость, как видно из рисунка, равна vr
= vcos а. Значение скорости v в точке отрыва шайбы и угол а. в момент
отрыва мы получили в предыдущей задаче:
V V
Н = h.-------- = 2R---------
2 g 2 g-
cos a = -
2
3
Подставив эти значения, получим
Высоту отрыва шайбы от поверхности h также можно определить из закона
сохранения механической энергии, записанного для точки отрыва В,
mv2 v2 5
mg\ = mgh + --. Откуда h = h1--- = -R.
2 2g 3
Таким образом, мы ответили на вопросы, поставленные в задаче,
воспользовавшись лишь законом сохранения механической энергии.
Задача IV.11 На невесомом стержне длиной I укреплены:
а) масса 2т на конце стержня,
б) две равные массы т - одна на конце стержня, другая - посередине
стержня (рис. IV.11). Стержень может вращаться в вертикальной плоскости
вокруг точки А. Какую горизонтальную скорость в обоих случаях нужно
сообщить концу стержня, чтобы он отклонился до горизонтального положения?
Решение. В данной задаче можно применить закон сохранения механической
