Физика. Примеры решения задач, теория - Гомонова А.И.
Скачать (прямая ссылка):
А?к = (Якк ~К") = АТР1 + АтР2 , ИЛИ
(2)
где S и s - расстояния, пройденные тележкой и телом относительно Земли
соответственно. Решая совместно уравнения (1) и (2) и используя выражение
для силы трения, получим
(m + M)(Mvn)2
-- Mv0 = 2 jumg(s - S) = -2/umgl,
= -2/umgl
или Mv%\ -- 1
l га + M
Таким образом, тело вдоль тележки прошло расстояние
123
г - Mvl 2fig(m + M)'
Следует обратить внимание на то, что работа сил трения определяется
относительным перемещением тела I.
IV. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЯ. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ
§ 1. Вращательное движение
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси все его точки имеют
одинаковые угловые перемещения (Дф), угловые скорости
Задачи на динамику вращательного движения по окружности, в принципе,
ничем не отличаются от задач на динамику прямолинейного движения точки и
также подчиняются второму закону
Ньютона ^ F; = та, где а - полное ускорение точки, состоящее из
нормального ап и тангенциального (касательного) ат ускорений: а - ап +
ах.
v2
При этом ап = - меняет только направление R
скорости, ах - только величину скорости.
124
Большую часть задач на динамику вращательного движения удобно решать с
привлечением закона сохранения механической энергии.
Вновь предлагаем некоторую последовательность действий (некий алгоритм)
при решении задач на динамику вращательного движения.
1. Аккуратно рисуем рисунок, отражающий условие задачи. На этом
рисунке стрелочками изображаем все силы, действующие на тело.
2. Записываем второй закон Ньютона в векторном виде, а затем
переписываем его в проекции на ось ОХ, которую направляем обычно вдоль
радиуса к центру. Именно так удобно выбрать направление оси ОХ, поскольку
мы знаем ускоре-
v2
ние вдоль этой оси ап = -, т. е.
R
Вторую ось 0Y обычно направляют вдоль касательной и второй закон Ньютона
вдоль этой оси запишется
Однако часто для решения задач на динамику удобнее использовать вместо
уравнения (2) закон сохранения механической энергии (если это позволяет
сделать условие задачи):
Закон сохранения механической энергии используется в том случае, если для
решения зада-
(1)
(2)
(3)
125
чи уравнения Ньютона в виде (1) нам недостаточно. Ответ получаем только в
общем (буквенном) виде, так как в этом случае его удобно анализировать. И
только после этого подставляем цифры в полученную формулу.
Задача IV.1 Два одинаковых шарика А и В укреплены на концах невесомой
нити, продетой через трубку, как показано на рис. IV. 1. Шарик А,
находящийся на поверхности диска, вращается в горизонтальной плоскости.
Расстояние от оси трубки до шарика А равно г. С какой угловой скоростью
должен вращаться шарик А, чтобы шарик В находился в равновесии? Будет ли
равновесие устойчивым? Трением пренебречь.
Рис. TV. 1
Решение. На шарик А действуют три силы: сила тяжести mg, реакция опоры N
и натяжение нити
126
Т. На шарик В действуют две силы: сила тяжести mg и натяжение нити Т.
Второй закон Ньютона в векторной форме выглядит так:
для шарика А Т + mg + N = таи , (1)
для шарика В mg+T = 0. (2)
Выберем ось ОХ, направленную вдоль нити, а
ось 0Y опустим вниз. Тогда для шарика А вдоль направления ОХ уравнение
(1) запишется
Т = тш2г, а уравнение (2) вдоль направления 0Y
mg - Т = 0.
Из этих уравнений получим
Т = ты2 г = mg. (3)
Отсюда
Очень важно теперь выяснить, будет ли это равновесие шариков устойчивым?
Для того чтобы определить устойчивость равновесия, нужно сместить шарик А
на Ах влево (либо вправо) и посмотреть, как изменились силы, действующие
на шарик. При смещении шарика А влево сила натяжения Т уменьшается, так
как теперь
Tj = ты2 (г - Дг).
Но тогда сила натяжения, действующая на шарик В, тоже уменьшается,
поскольку до смещения эта сила равнялась mg по формуле (3). Поэтому шарик
В поедет вниз и потянет за собой шарик А. Это, в свою очередь, еще больше
умень-
127
шит силу натяжения и т. д. Аналогичные рассуждения можно провести и при
смещении шарика А на Ах вправо. Поэтому положение равновесия шариков
будет неустойчивым.
Задача IV.2 Шарик массой т прикреплен к невесомой пружине и движется по
окружности в горизонтальной плоскости с угловой скоростью (У.
Определить силу натяжения пружины с жесткостью к (начальная длина
нерастянутой пружины 10 и радиус окружности, по которой движется ша-
Рис. IV.2 Рик' 1 (Рис¦ W2>j-
Решение. В горизонтальном направлении на шарик действует только
сила натяжения пружины Т, которая является силой упругости и по закону
Гука равна
Т = kAl = k(l ~10). Именно эта сила сообщает шарику нормальное ускорение
а" = - = о I.
I
Направим ось ОХ, как показано на рисунке. Второй закон Ньютона вдоль
этого направления запишется
Т = то21, или k(l - 10) = то)г1.
Это соотношение позволяет вычислить радиус окружности I, по которой
движется шарик,
128
l(k - rmu2) = kl0> или I = ---rr. 4 ' [k - mco )
Задача IV.3 Автомобиль, масса которого М, движется с постоянной скоростью
v один раз по выпуклому мосту, а другой раз по вогнутому. В обоих случаях
