Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
В
= (Bl
VO B2J'
(7.1)
где Bi — диагональная матрица, a B2 имеет блочную форму
(B(Xi) 0 ... 0 0 В( A2)
0
... 0
0
Ф ^ji
о
о
B(Ai) =
0 B(Afc)y
(Ъ
0 Ai
(7.2)
Vo 0 ... 0 А і)
(звездочка обозначает наличие ненулевых элементов). Считаем, что матрицу B(Xj) невозможно привести к виду (7.1). Тогда путем замены базиса она приводится к матрице
(7.3)
Ai 1 0 .. 0 0"
0 Ai 1 .. 0 0
0 0 0 .. А; 1
0 0 0 .. 0 Ai.
называемой жордановой формой матрицы B(Xj).
Если подматрица Bi в (7.1) имеет вид diag(/j,j,... ,цг), то pi,... ,р,г являются собственными значениеми матрицы В:
Вея=ряея, S = 1,2,... ,г. (7.4) 340
Глава 2,
Числа Xj из (7.2) также называют собственными значениями матрицы В. Уравнения на эти собственные значения записываются не в виде (7.4), а в виде
(В - А 1)ре = 0, р Є Z+, (7.5)
где I — единичная матрица.
Преобразование N Є L(Sj) называют нильпотентным, если при некотором I ? Z+ имеем N1 — 0. Сведем нильпотент-ное преобразование к матричному внду (7.1). Ясно, что если при этом хотя бы одно собственное значение было б отлично от нуля, то мы не смогли бы достичь равенства N1 = 0. Наоборот, если преобразование N приводится к виду (7.1), причем все собственные значения нулевые, то оно нильпотентно. Следовательно, преобразование N ? L(Sj) нильпотентно тогда и только тогда, когда оно в некотором базисе приводится к матрице с нулями на главной диагонали и ниже ее.
Утверждение 1. Каждое преобразование А ? L(Sj) допускает однозначное разложение А = S + N, где S — полупростое, a N — иильпотентное преобразования.
Доказательство. Выбираем базис, в котором А имеет вид (7.1). Тогда A = S + N, где S — диагональная матрица со всеми собственными значениями матрицы А на диагонали, a N = А — S. Из матричной формы (7.1) видно, что такое представление единственно. Утверждение доказано.
Множество преобразований 9Я из L(Sj) называют полу простым, если каждое инвариантное инвариантное относительно Ш подпространство имеет в Sj инвариантное дополнение. Для такого множества существует разложение = • •+#* пространства Sj в прямую сумму инвариантных неприводимых подпространств. Несложно показать, что если OTl — коммутативное полупростое множество преобразований, то неприводимые инвариантные подпространства одномерны.
Следовательно, в Sj существует базис, в котором все преобразования из коммутативного полупростого множества диагонализируются. Коммутативное множество преобразований полупростое тогда и только тогда, когда каждое из этих преобразований полупростое. § 7. Разрешимые и нильпотентные группы
341
7.2. Разрешимые группы и алгебры Ли и их конечномерные представления. Пусть g — алгебра Ли. Подпространство в 0, натянутое на все элементы вида [X, У], где X, Y Є 0, называют производной алгебры д. Эту производную будем обозначать Sg. Ясно, что Sg — идеал алгебры д. Беря производную от производной, производную от полученной производной и т. д., получаем подалгебру 2)ng, п = 1,2,... Все они являются идеалами в д. Уели ?>"д = {0} при некотором п ^ 0, то алгебру д называют разрешимой. Группу Ли G называют разрешимой, если ее алгебра Ли разрешима.
Пример 1. Коммутативная группа (или алгебра) Ли разрешима.
Пример 2. Алгебра (или группа) Ли верхних треугольных матриц разрешима.
Задача 1. Покажите, что подалгебра разрешимой алгебры Ли разрешима. Фактор-алгебра разрешимой алгебры Ли является разрешимой алгеброй Ли. Бели идеал Ь и фактор-алгебра g/b разрешимы, то алгебра Ли Q разрешима.
Утверждение 2. Если алгебра Ли 0 разрешима, то для любого ее идеала b размерности п существует идеал Ь1 в Ь размерности п — 1.
Доказательство. Пусть Ь = д. Согласно определения разрешимой алгебры Dg ф 0. Значит, в g существует подпространство Ь, содержащее Sg и имеющее размерность dim 0 — 1. Поскольку Sg С Ь, то [fl, Ь] С Ь и Ь — идеал в 0. Произвольный идеал Ь в 0 является разрешимой алгеброй. Поэтому для него эти соображения можно повторить. Утверждение доказано.
Теорема 1 (Теорема Ли). Пусть g — разрешимая алгебра JIu, a T — ее конечномерное представление в пространстве Sj. Тогда в Sj существует вектор х ф 0, собственный для всех операторов T(X), X ? д.
Доказательство. Если dimg = 1, то теорема справедлива. Предположим теперь, что она справедлива для всех разрешимых алгебр Ли размерностей меньше dimg. Пусть Ь — идеал в 0, такой что 0 = Ь + CX, где X — элемент из 0. 342
Глава 2,
Существование такого идеала вытекает из утверждения 2. Согласно предположениям в Sj существует вектор ео, такой что для всех У Є Ь имеем
Т(Г)е0 = А(Г)е0, (7.6)
где A(F) — линейная форма на Ь. Положим
Єр=Т(Х)*>е0, P = 0,1,2,...
Линейное пространство Sjо, натянутое на эти векторы, инвариантно относительно T(X). Покажем, что для всех YGb и всех р имеем
T(Y)ep = X(Y)ep + C(ei,... ,ер_і), (7.7)
где через С(еі,... ,Єр_і) обозначен элемент из линейной оболочки векторов еі,...,ер_і- Формула (7.7) справедлива для р = 0. Пусть она справедлива для некоторого фиксированного р. Поскольку [Y, X] с Ь, то
